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  • 1.摘要
  • 2.基本信息
  • 3.定义
  • 4.相关性质
  • 4.1.引理1
  • 4.2.引理2
  • 4.3.定理1
  • 4.4.定理2
  • 4.5.定理3
  • 5.参考资料

广义梯度

广义梯度(generalized gradient)是梯度或导数概念的一种推广，这是克拉克(Clarke，F.H.)对于局部李普希茨函数类提出的概念，由此形成的理论目前已成为非光滑分析中最成熟的一部分，并且有广泛的应用。设f(x)在x附近是Lipschitz的，则我们称集合{ξ∈X*|f°(x，d)≥〈ξ,d〉，∀d∈X}是f在x处的广义梯度，记为∂f(x)1。

基本信息

  • 中文名

    广义梯度

  • 外文名

    generalized gradient

  • 所属学科

    数学

  • 所属领域

    凸分析(凸函数)

  • 推出者

    克拉克(Clarke，F.H.)

定义

广义梯度(generalized gradient)是梯度或导数概念的一种推广，这是克拉克(Clarke，F.H.)对于局部李普希茨函数类提出的概念，由此形成的理论目前已成为非光滑分析中最成熟的一部分，并且有广泛的应用2。

设f(x)在x附近是Lipschitz的，则我们称集合

是image在image处的广义梯度，记为image。

相关性质

共轭空间X*的范数image定义为

则关于广义梯度有如下结果。

引理1

设f(z)在x附近是Lipschitz 的，则

1)image是X* 中的一个弱*—紧的、非空凸集；而且对image中任何image都有image。

2) 关系式

对一切image都成立。

根据定义明显可见广义方向导数和广义梯度有如下关系。

引理2

设f(z) 在 x 附近是Lipschitz 的，则