定义

设交换环 中有 个素理想 ，使得

则称之为长度为 的素理想链，一个无法插入新的素理想的链被称作极大的。 的克鲁尔维数定义为素理想链的最大可能长度，这也等于是 中素理想的最大可能高度。

根据定义， 的维数与对素理想的局部化有下述关系

其中 表 的所有素理想所成集合。我们也可以仅考虑为极大理想的 。当 为链环时，对各极大理想的局部化皆有相同维数；代数几何处理的交换环通常都是链环。

例子与性质

例如在环 中可考虑以下的素理想链

因此 ；事实上可证明其维数确实为 3。以下是克鲁尔维数的几个一般性质：

零维的整环是域。

离散赋值环与戴德金整环是一维的。

若 ，则 ；当 为诺特环时则 。

若 为域，则 。

若 为 -代数，同时又是有限生成的 -模，则 。

与几何的关系

在代数几何中，一个概形的维数被定义为各局部环的克鲁尔维数的上确界；对于仿射概形 ，则回归到 。

设 为域， 是有限型 -整代数，这是代数几何中的主要案例。根据诺特正规化引理，存在非负整数 及 中彼此代数独立的元素 ，使得 是有限生成之 -模，因此 。从几何观点看， 此时是 的有限分歧覆盖，因而克鲁尔维数确实合乎下述几何直观：