定义介绍

凯莱变换在对称算子和部分等距离算子之间建立了一种对应关系。

设是希尔伯特空间，是闭对称算子，则都是单射，且其指域都是的闭子空间。

定义了从到上的等距算子，称为的凯莱变换。

反之，对于上的部分等距算子U，若是单射，则是闭对称算子且T的凯莱变换就是U。

把凯莱变换中的 换成任意虚部不为零的复数，类似的讨论几乎仍然成立。此时，T是自伴算子当且仅当是上的酉算子。

对称算子

【symmetric operator】

设T是作用在希尔伯特空间上的稠定算子，如果对任意有，亦即，则称T是对称算子。每个对称算子都有闭的对称扩张。如果对称算子T没有找到对称扩张，即若且S是对称算子一定有成立时，则称T是极大对称（maximally symmetric）。

在一定条件下，对称算子与等距算子可通过凯莱变换相互转化。

部分等距算子

【partial isometric operator】

设T是希尔伯特空间的闭子空间，对于，如果任意和都有和成立，则称V是以为初始空间（initial space）以V的值域(V)为末空间（final space）的部分等距算子。1

参考资料