概念

相对不变测度(relative invariant measure )是不变测度的推广。设一切记号与条目“不变测度”中意义相同。而对任意s∈Ω，存在正实数χ(s)，使得μ(A)=χ(s)μ(sA)，则称测度μ为相对不变测度。

测度

测度，是数学术语，释义是构造一个集函数，它能赋予实数集簇М中的每一个集合E一个非负扩充实数m(E)。我们将此集函数称为E的测度。测度有计数测度、勒贝格测度、哈尔测度、概率测度等。构造一个集函数，它能赋予实数集簇М中的每一个集合E一个非负扩充实数m(E)。我们将此集函数称为E的测度。

定义1：构造一个集函数，它能赋予实数集簇М中的每一个集合E一个非负扩充实数m(E)。我们将此集函数称为E的测度。

定义2：设Γ是集合X上一σ代数，ρ ：Γ →R∪{ +∽ }是一集合函数，且ρ满足：

（1）（非负性）对任意的A∈Γ，有ρ(A)≧0;

（2）（规范性）ρ(Φ) = 0；

（3）（完全可加性） 对任意的一列两两不交集合A1，A2，……，An，……有ρ(∪n An)=∑n ρ（An）

则称ρ是定义在X上的一个测度，Γ中的集合是可测集，不在Γ中的集合是不可测集。特别的，若ρ(X) = 1 ，则称ρ为概率测度。

不变测度

不变测度是测度的一种。对于出现混沌的一维映射：

虽然混沌运动轨道的点集{xn}具有对初条件敏感的性质，但是它可以用一个分布函数P(x)来描述。即在区间[0，1]上的每一x处都有一定的概率测度：

该测度p(x)随着由xn到xn+1的迭代映射，亦相应地演化。显然这时存在一个和映射f有关的算子F(称Frobenias-Perron算子)，使该测度由μ演化到Fμ，再变到Fμ等。这时方程μ=Fμ的不动点就是不变测度。由于xn是xn+1的逆映射，因此不变测度也意味着：

因为存在不变测度，可知混沌轨道是各态历经的，此时时间平均就可以用按概率分布的平均来代替。

混沌运动