序列空间定义

更一般的希尔伯特空间都是无穷维的，假设是一个任意集合，可以定义其上的序列空间，记为

此空间在定义如下内积后，成为一个希尔伯特空间：

其中和是中的任意元素。在这个定义中，并非一定要是可数的，在不可数之情形下，不是可分（separable）的。在下面更具体的例子中，所有的希尔伯特空间在选定适当的的情况下，都可以表示成为的一个同构空间。特别地，当的时候，可以将其简单记为。

常见空间定义

欧几里得空间

及其上的内积

构成了一个希尔伯特空间，其中短横线表示一个复数的复共轭。

勒贝格空间

勒贝格空间( 这里指空间 )是指定义在测度空间上的函数空间，其中代表函数的定义域，的元素是上的子集族，为 一个代数，一般把称作可测空间(measurable space)，而是上的测度。

更仔细的说，( 简写做) 表示上所有平方可积（square-integrable）的复数值的可测函数的集合。平方可积表示该函数的绝对值的平方的积分是有限的。要注意的是在空间里，对于几乎处处( almost everywhere )相同的函数，也就是说如果两函数只在一个测度为0的集合上不相等，我们把这两函数当做在中相同的元素。

此时两个函数f和g的内积定义为

因为，所以这内积的定义没有问题。

但需要证明的是：

• 此空间在此内积下是完备的。