简介

在数学中，中的非空闭合凸集A的支撑函数描述了支撑原始集A的超平面的距离。 支撑函数是上的凸函数。 任何非空的封闭凸集A由唯一确定。 此外，作为集合A的函数的支撑函数与许多几何操作相兼容，例如缩放，平移，旋转和闵可夫斯基加法。 由于这些属性，支撑函数是凸几何中最重要的基本概念之一。

定义

支撑函数中的非空封闭凸集A由下式确定：

。当x是单位向量时，它的解释是最直观的：根据定义，A包含在封闭的半空间

并且在这个半空间的边界中至少有一个A点

因此，超平面称为具有外部（或外部）单位法向量x的支撑超平面。 外部这个词在这里很重要，因为x的方向起作用，所以集合通常不同于。 现在是与原点的（有符号）距离。

举例

A = {a}的支撑函数是。

欧几里得单位球B1的支撑函数是。

如果A是具有端点-a的原点的线段，则A是。

属性

作为x的函数

紧凑凸集的支撑函数是实值和连续的，但是如果集合是无界的，则其支撑函数被扩展为实值（它的值为）。 由于任何非空闭合凸集是其支撑半空间的交集，所以函数唯一地确定A。 这可以用于分析描述凸集的某些几何属性。 例如，如果且仅是偶函数，则集合A相对于原点是点对称的。

一般来说，支持功能是不可区分的。 然而，定向导数存在并产生支持集的支持功能。 如果A是紧凑且凸的，并且表示方向x上u≠0的的方向导数，我们有