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  • 1.摘要
  • 2.基本信息
  • 3.基本介绍
  • 4.复随机变量的密度函数
  • 5.期望值、方差和协方差
  • 5.1.期望值
  • 5.2.方差
  • 5.3.协方差
  • 6.复随机变量的相关性
  • 7.参考资料

复随机变量

设X，Y是定义在同一个慨率空间上的两个实随机变量，称Z=X+iY为一个复随机变量，其中i2=-1。复随机变量X+iY本质上是二维随机变量(X，Y)，具有二维随机变量的一些性质。例如，实二维随机变量(X1，Y1)，(X2，Y2)，…，(Xn，Yn)相互独立，那么复随机变量X1+iY1，X2+iY2，…，Xn+iYn也相互独立。当复随机变量Z=X+iY的实部X与虚部Y都有有限的数学期望，就定义E[Z]=E[X]+iE[Y]为Z的数学期望，若E[X]、E[Y]至少有一个不存在，就说E[Z]不存在。关于随机变量数学期望的一些性质，对复随机变量也成立1。

基本信息

  • 中文名

    复随机变量

  • 外文名

    complex random variable

  • 所属学科

    数学(统计学)

  • 相关概念

    复数、随机变量、数学期望等

基本介绍

一些重要的量往往是复数，如周期信号的傅里叶系数就是复数，因此需要一种记号，以便于处理取值为复数的随机变量image，即

式中：实部X和虚部Y都是实随机变量2。

复随机变量的密度函数

复随机变量Z的实部X和虚部Y的联合概率密度，称为复随机变量Z的密度函数，即

式中：image为一个实数。

期望值、方差和协方差

若将实随机变量的期望值、方差和协方差推广至复随机变量时，则要求：

(1)当实随机变量Y=0(或X=0)时，复随机变量Z的矩应当等于实随机变量X(或Y)的矩。

(2)必须保持随机变量的矩的特性(如方差应为非负实数)。

期望值

复随机变量Z的期望值规定为

当Y=0时，image，符合前述要求。

方差

复随机变量Z的方差规定为