空间三线平行定理

空间三线平行定理(theorem of three parallel lines in space)是立体几何的基本定理之一。如果两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行，这一定理反映空间中彼此不同的直线平行关系的传递性1。

基本信息

空间三线平行定理平行于同一条直线的两条直线互相平行。

如图1，若a、b、c是不在同一个平面内的三条直线，a//b，a//c，则b//c2。

图1

空间的三线平行定理与平面上三线平行定理相类似，其结论明显。它是推证空间等角定理和讨论平行问题的依据，是证明其它定理的依据，从某种意义讲与三垂线定理有类似的地位。

已知直线a//b，c//b。

求证a//c。

证明①当三直线a，b，c共面时，这定理是平面几何中的定理，用反证法证明，图2。

图2

∵在同一平面内的两条不相重合的直线，它们的相互位置关系只可能有两种：平行或相交，假定a不平行于c，那么a和c必相交于一点P。

又∵ 已知a//b，c//b，即经过P点有两条直线都和EF平行。这和平行公理相矛盾。

所以a和c相交的假定是错的。那么只有a//c成立3。

②当a，b，c不共面时，过a，b所确定的平面α与过直线b，c所确定的平面β相交于b，在c上任取一点P(如图3)，设a，P所确定的平面γ与β相交于c'，则c'与a可能相交或平行。

图3

若c'与a相交于点M，则点M在α，β内，必在b上，与a//b矛盾。

若c'与a平行，且c'与b不平行，可设c与b相交于点Q，则点Q在γ，α内，必在α上，这与c'//a矛盾，所以c'//b。

因为c'∩c=P，c'//b，c//b，所以c'与c重合(平行公理)，故c与a平行4。