定义

设为函子，若存在双函子的同构

则称为一对伴随函子，称为的右伴随函子，而是的左伴随函子。

上述同构进一步给出两个同构

分别在同构的左右两侧置与，遂得到函子间的态射（即自然变换）：

（单位）

（上单位）

定义中的双函子同构由单位与上单位唯一决定。

正合性

设是一对伴随函子，若为右正合则为左正合；此命题可由正合函子与极限的定义直接导出。

例子

伴随函子在数学中处处可见，以下仅举出几个例子：

自由对象与遗忘函子是一对伴随函子，举群范畴为例，此时单位态射不外是集合到它生成的自由群的包含映射。

积与对角函子。

设为环，为右-模，则与为一对伴随函子。当可交换时，上式的可代为，可代为。

层的正像与逆像。