帕普斯法则

帕普斯法则是计算旋转体的体积和表面积的一种方法，为了计算旋转体的体积和表面积，帕普斯(Pappus，(A))在《数学汇编》中给出法则：若平面曲线C绕直线l旋转(C和l共面且C在l的一侧)，则所得旋转曲面的面积S等于母曲线C的长度与C的重心在旋转过程中所走路程的长度的乘积；若部分平面A绕同一平面内的一条直线旋转(此直线至多只能为A共边界点)，则所得旋转体的体积V等于A的面积与A的重心在旋转过程中所走路程长度的乘积1。

基本信息

中文名
帕普斯法则
外文名
Pappus law
所属学科
数学
所属问题
立体几何(旋转体)
别名
帕普斯-古尔丁定理

基本介绍

为了计算旋转体的体积和表面积，亚历山大的帕普斯(Pappus，公元三世纪末)给出一个法则，也叫帕普斯-古尔丁(Pappus-Guldin) 定理。这两个定理是瑞士数学家古尔丁1640 年发表的，但古希腊数学家帕普斯已经知道，帕普斯没有给出证明，古尔丁给出了证明，但推理模糊不清，用现代思想首先证明的是意大利数学家卡瓦利里(Cavalieri)。他们的定理方便我们求旋转面的面积和求旋转体的体积，也可以帮助我们求弧线或面积的重心，

帕普斯表面积计算法则

帕普斯表面积计算法则也称为帕普斯-古尔丁第一定理。

设一平面曲线位于这平面上一定直线D的一侧，以D为轴将曲线旋转360°，所产生的面积等于曲线长度和曲线的重心在旋转中所画的圆周长之积。

设l为曲线长，g为重心G到轴D的距离，S为旋转面积，求

证明第一步，设曲线为一条线段AB，设其端点在轴D上的射影为点A'，B'(图1)，按AB与D的相关位置，有五种情况。

(1)旋转面为圆柱面

S=2π·AA'·l= 2πgl.

(2)旋转面为圆锥侧面

S=π·BB'·AB=π·2g·l=2πgl

(3)旋转面为棱台侧面

S=π(AA'+ BB')·AB=π·2g·l= 2πgl.

(4)旋转面为圆面积

S=π·AB²=π·2g·AB =2πgl.

(5)旋转面为圆环

S=π(A'B²﹣A'A²)=π(A'B +A'A)，

(A'B一A'A)=π·2g·l= 2πgl.