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  • 1.摘要
  • 2.基本信息
  • 3.基本介绍
  • 4.基本解的存在性定理
  • 5.亚椭圆常系数微分算子
  • 6.施瓦兹定理
  • 7.定强微分算子
  • 8.参考资料

常系数微分算子

常系数微分算子(differential operator with constant coefficients)是系数为常数的线性偏微分算子。赋范向量空间E的连续自同态通常叫做有界算子，或简称为算子。 定义在E的向量子空间上(该子空间在E中稠)，而在E中取值的所有线性映射则叫做E的非有界算子。常系数微分算子是赋以一致收敛范数的R之区间[a，b]上的全体连续函数之向量空间的非有界算子。

基本信息

  • 中文名

    常系数微分算子

  • 外文名

    differential operator with constant coefficients

  • 所属学科

    数学

  • 所属问题

    偏微分方程(线性偏微分算子)

  • 相关概念

    线性偏微分算子、偏微分算子等

基本介绍

常系数微分算子是系数为常数的线性偏微分算子，其一般形式为：

其中image为常数(实数或复数)。例如，拉普拉斯算子

热算子image，波算子image等都是常系数微分算子。线性偏微分算子理论中的若干重要问题，如基本解的存在性、局部可解性、亚椭圆性的判定等对于常系数情形均已完全解决1。

基本解的存在性定理

基本解的存在性定理(theorem for existence offundamental solution)是关于基本解存在性的一个定理。该定理断言：每个非零的常系数微分算子image都有基本解，image的基本解E作为广义函数可如下构造：image，

其中image表示image的逆傅里叶变换。H为image中某个适当的区域，满足image，由基本解的存在可知常系数微分算子是局部可解算子。

亚椭圆常系数微分算子

亚椭圆常系数微分算子(hypoelliptic differential operator with constant coefficients)是最基本的亚椭圆算子，设image是常系数微分算子，则下述条件中的每一个都是image为亚椭圆算子的充分必要条件：

1．以image记image集合image的距离，则当image时，image。

2．存在正的常数c及C，当image且image充分大时，不等式image成立。

3．记image，对于每个非零多重指标image，当image且image时，有image。

4．存在正的常数c及C，当image且image充分大时，不等式image成立1。

施瓦兹定理

施瓦兹定理[Schwarz(th.de)]设image为image的开集image上的连续可微的数值函数，且在image的点image处两次可微，则对image的任一相异元素偶image，必有