简介

单侧极值是容许函数满足不等式条件的极值问题。

若变分问题中待求函数或它们的导数服从某个不等式，这个变分问题的极值就称为单侧极值。1

实例

例如，如果狄利克雷积分的容许函数满足u(x)=0(x∈∂Ω)和不等式u(x)≥φ(x)(x∈Ω)，则相应欧拉-拉格朗日方程应满足变分不等方程

容许函数

(admissible function)

容许函数是一种特殊函数，指变分积分J(u)中满足一定条件的函数u。容许函数的集合称为容许函数类。

例如最速落径问题中的容许函数是满足：y(0)=0，y(x1)=y1的一次可微函数，测地线问题中的容许函数v=v(u)要使相应曲线在给定曲面上等。

变分问题

(variational problem)

变分问题是有关求泛函的极大值和极小值的问题。最早研究的重要变分问题有：

1、最速降线问题：给定不在同一铅垂线上的两点A和B，求出连结A和B的一条曲线使其具有这样的性质：当质点受重力作用沿着这条曲线由A下滑至B时所需时间为最少。

2、短程线问题：求曲面φ(x,y,z)=0上所给二点间长度最短的曲线，这条最短曲线称为短程线或测地线。

3、基本的等周问题：求长为一定的封闭曲线l，使其所围的面积S为极大。

参考资料