定义

若为的聚点，则对于的任意邻域，有，还可根据的基数而将聚点分类。当的基数是以上时，称为的凝聚点(condensationpoint)，当对所有的邻域的基数都等于的基数时，称为的完全聚点或最大聚点2。

相关概念

定义1聚点为子集A的聚点(可能)，是指的任一开邻域含的点，等价于含于的闭包(当第1可数时，等价于是中点列的极限点；进而为第1可数且时(如度量拓扑)，等价于为A的互异点构成的点列的极限)。聚点集称导集。非聚点称为孤立点。，即闭包=导集U原集(触点=聚点和原集点)。A为闭集(即)。A的闭包的余集称为A的外部(即非触点集)，闭包与余集闭包之交为边界。若闭包则称A在X中稠密。点列收敛于(称为极限)是指：对于的任一邻域，存在，使当时。点称为A的完全(最大)聚点，是指的任一邻域U与A的交的基数等于A的基数。一点为闭集(一点闭集)当且仅当中任一点有开邻域不含。X中任一点为闭集相当于X为。

定义2设为的一点，A为X的子集，若，则称为A的聚点(英accumulation point)。A的聚点集称为A的导集(derived set)，以或表示之。与的任意邻域最少含有以外的的一个点，二者是等价的。的点称为的孤立点(isolated point)，仅由孤立点组成的集合(时)称为孤点集(isolated set)或离散集(discrete set)。当的任意非空子集都具有孤立点时称为无核集(scattered set)。当不具有孤立点时(时)，称为自密集(dense in itself)。的自密的子集中最大者称为的自密核(德insichdichterKern)。当时称为完备集(perfect set)2。

紧致性这是中有界集的推广。若拓扑空间X的任意开覆盖有有限子覆盖，则称X为紧(致)的。等价于以下每一条：(1)若一闭集族的任意有限子族有交，则全族有交；(2)无限子集总有完全聚点；(3)有向点族总有收敛子族(点族有向是指：点族有半序，且其有限子集上方有界(不一定属于此子集))。子集A是紧子集是指作为子拓扑空间A是紧的(相当于A的“开集属于X的开覆盖”总有有限子覆盖)。紧拓扑空间的闭子集是紧的。Hausdorff空间中紧子集是闭的。故紧Hausdorff空间正规。紧X上的连续映射的象紧；再若为Hausdorff，则为闭映射；再若为双射，则为同胚。直积空间是紧的当且仅当各分空间是紧的。紧Hausdorff空间是正规的，可赋予距离等价于第2可数。离散空间中仅有限集是紧的。非紧的X可增点而“一点紧化”：开集为原开集，以及含的子集而余集在X中紧闭者3。

参考资料