基本介绍

设H(n，q)是一个q元集合上的有n个分量的有序组的全体，若两个有序组恰好在i个位置上的分量不同，则称它们的汉明距离为i，将H(m，q)取作处理的集合，两个有序组的汉明距离为i时称它们有第i种结合关系，便得到具q个处理及n个结合类的结合方案，称为汉明结合方案。

例如，当n=3且q=2时，汉明方案可用下面的立方体表示，立方体的8个顶点表示方案的8个处理，从顶点x到顶点y若至少需经过i条边，则表示处理x与处理y有第i种结合关系。汉明结合方案中的一个子集称为一个码，因此汉明结合方案在编码理论中有重要的应用。1

图1

汉明距离

汉明距离(Hamming distance)是为刻画纠错码的纠错能力所需要的一种度量，设=(x1，x2，…，xn)，=(y1，y2，…，yn)是两个字，以d(，)记相异分量的个数，即集合{i|1≤i≤n，xi≠yi}的基数，称这个数为字与字的汉明距离，简称距离，在一个非平凡码C中，任两个码字间距离的最小值称为码C的极小距离，码C的极小距离是衡量它的检错能力和纠错能力的一个数，例如，一个极小距离为2e+1的码用于数字通信时，即可检查出含于接收信息中的2e个差错又能纠正e个差错，当=(0，0，… ，0)∈C时，称d(，)为码字的重量，记为w()，码C中所有非零码字的重量中的最小者称为码C的极小重量。1

相关介绍

部分平衡不完全区组设计是平衡不完全区组设计的一种推广，简记为PBIBD，它是基于结合方案的概念，最早由玻色(R.C.Bose)及内尔(K.R.Nair)于1939年提出，若S={s1，s2，…，sv}为一v元集，且(S×S)\{(s，s)|s∈S}可表为m个两两不相交的非空子集R1，R2，…，Rm的并，则称Ri为结合关系。若诸关系Ri满足：

1.每一关系Ri是对称的，即当(x，y)∈Ri时必有(y，x)∈Ri；

2.对S中的每个元x，与x有第i种结合关系的元y的个数，即|{y∈S|(x，y)∈Ri}|只依赖于i，与x的具体选择无关，此数记为ni；

3.设x，y有第i种结合关系，则与x有第j种结合关系且与y有第k种结合关系的元z的个数只依赖于数i，j，k，而与x，y的具体选择无关，

则称集S连同诸关系Ri为一个具有m个结合类(或关系)的结合方案。诸数v，ni，(1≤i，j，k≤m)称为该结合方案的参数，基集S的元称为处理。

设v元集S上有m个结合关系Ri(1≤i≤m)的结合方案，且S上的一个区组设计有b个区组，若每个区组大小为k，S中任一元恰在r个区组中出现，并且任意两个有第i种结合关系的元恰同时出现在λi个区组之中，则称该区组设计是一个具有m个结合类的PBIBD设计，诸数b，v，r，k，λi，ni，(1≤i，j，k≤m)称为PBIBD设计的参数，当λ1=λ2=…=λm≡λ时，PBIBD设计就是一个(v，k，λ)-PBIBD，在试验设计中，PBIBD设计被用来安排试验的方案，其中有两个结合类且参数较小的PBIBD设计最为有用，它们的存在性及构造已有表可查，结合方案与一类结合的交换代数有关，称为结合方案的玻色-梅斯纳代数，最重要的一类结合方案与编码理论有关，称为汉明结合方案，另一类结合方案与强正则图关系密切，称为度量方案，此外还有三角形结合方案等其他类型的结合方案，按结合方案的类型，具有两个结合类的PBIBD设计可分为可分组PBIBD设计、三角形设计、拉丁方型设计等，利用有限域上向量空间以及利用多种有限几何(辛几何、酉几何、正交几何等)构造结合方案和相应PBIBD设计在中国有比较活跃的研究，它起源于班成的工作，而万哲先等人则做了较为系统的研究1。

参考资料