行秩列秩相等性

矩阵的行秩与列秩相等，是线性代数基本定理的重要组成部分。其基本证明思路是，矩阵可以看作线性映射的变换矩阵，列秩为像空间的维度，行秩为非零原像空间的维度，因此列秩与行秩相等，即像空间的维度与非零原像空间的维度相等（这里的非零原像空间是指约去了零空间后的商空间：原像空间）。这从矩阵的奇异值分解就可以看出来。

给出这一结果的两种证明. 第一个证明是简短的，仅用到向量的线性组合的基本性质. 第二个证明利用了正交性. 第一个证明利用了列空间的基, 第二个证明利用了行向量空间的基. 第一个证明适用于定义在标量域上的矩阵，第二个证明适用于内积空间。二者都适用于实或复的欧氏空间，也都易于修改去证明当A是线性变换的情形.

证明一

令是一个的矩阵，其列秩为. 因此矩阵的列空间的维度是. 令是的列空间的一组基，构成矩阵的列向量，并使得的每个列向量是的个列向量的线性组合. 由矩阵乘法的定义，存在一个矩阵, 使得. (的元素是与的第个列向量的点积.)

现在，由于, 的每个行向量是的行向量的线性组合，这意味着的行向量空间被包含于的行向量空间之中. 因此的行秩 ≤ 的行秩. 但仅有行, 所以的行秩 ≤ = 的列秩. 这就证明了的行秩 ≤ 的列秩.

把上述证明过程中的“行”与“列”交换，利用对偶性质同样可证的列秩 ≤ 的行秩。更简单的方法是考虑的转置矩阵，则的列秩 = 的行秩 ≤ 的列秩 = 的行秩. 这证明了的列秩等于的行秩. 证毕.

证明二

令是矩阵，其行秩是. 因此的行向量空间的维度是，设是的行向量空间的一组基. 如果把这组基当作原像列向量看待，则向量集是线性独立的。 这是因为对一组标量系数，如果:

其中. 则可以推出有两个事实: (a) 是行向量空间的线性组合, 即属于的行向量空间；(b) 由于= 0,  正交于的所有行向量，从而正交于的行向量空间的所有向量. 事实(a)与(b)结合起来，则正交于自身，这意味着 = 0. 由的定义:

再由是的行向量空间的一组线性独立的基，可知. 因而是线性独立的.

是的列空间中的向量. 因此是的列空间中个线性独立的向量. 所以的列向量空间的维数(的列秩)必然不小于. 这证明了的行秩r ≤ 的列秩. 把这一结果应用于的转置矩阵可以得到: 的列秩 = 的行秩 ≤ 列秩 = 的行秩. 这证明了的列秩等于的行秩，证毕.

最后, 还可以证明rk(A) = rk(A*), 其中A*是A的共轭转置或称施密特转置. 当A的元素都是实数, 这一结果变为rk(A) = rk(AT). 然而对于复系数矩阵，rk(A) = rk(A*)并不等价于行秩等于列秩, 需要用到上述两个证明.

证明三

令A是一个m×n矩阵. 定义rk(A)为A的列秩，A*为A的共轭转置或称施密特转置. 首先可知A*Ax = 0当且仅当Ax = 0.

A*Ax = 0 ⇒ x*A*Ax = 0 ⇒ (Ax)*(Ax) = 0  ⇒ ‖Ax‖2 = 0 ⇒ Ax = 0,

其中‖·‖是欧氏范数. 这说明A的零空间与A*A的零空间相同. 由秩－零化度定理, 可得rk(A) = rk(A*A). A*A的每一个列向量是A*的列向量的线性组合. 所以A*A的列空间是A*的列空间的子空间. 从而rk(A*A) ≤ rk(A*). 即: rk(A) = rk(A*A) ≤ rk(A*). 应用这一结果于A*可或得不等式: since (A*)* = A, 可写作rk(A*) ≤ rk((A*)*) = rk(A). 这证明了rk(A) = rk(A*). 证毕.