简介

在图论中，图G的厚度是可以对G的边缘进行分割的平面图的最小数量。 也就是说，如果存在k个平面图的集合，它们具有相同的顶点集，且这些平面图的并集是G，那么G的厚度最多为k。换句话说，图G的厚度是图G的平面子图的最小数目（而图G是这几个子图的并集）。

因此，平面图具有厚度1。厚度2的图形称为双平面图（biplanar graphs）。 厚度的概念源于1962年Frank Harary的猜想：对于9点的任何图形，它的本身或其互补图形都是非平面的。 这个问题等同于确定完整图K9是否是双平面的。佩特拉·穆泽尔、托马斯·奥登塔尔和马克·沙尔布罗特撰写了关于1998年主题艺术状况的综合性调查。

具体的图

n个顶点Kn的完整图形的厚度为：

只有当n = 9,10的时候，其厚度为3。

除了一些例外，完整的二分图Ka，b的厚度通常为：

相关问题

每个森林（在图论中，森林由不相交的树组成）都是平面的，每个平面图都可以最多划分成三个森林。 因此，任何曲线G的厚度最多等于相同图形的轮廓（轮廓是其边缘可以分割成的森林的最小数量），至少等于轮廓除以3。G的厚度也在另一个标准图不变量的恒定因子内，定义为子图中G的最大值。 如果n顶点图具有厚度t，那么它必然具有至多t（3n-6）轮廓，从而遵循其简并度至多为6t -1。在另一方向，如果图具有简并D，则厚度最多为D。

厚度与同时嵌入的问题密切相关，如果两个或更多个平面图都共享相同的顶点集，则可以将所有这些图形嵌入平面中，其中按照轮廓绘制为曲线，使得每个顶点在所有不同的图形中具有相同的位置。 然而，将边缘绘制成直线段可能不会构造这样的图形。

曲线G的直线厚度或几何厚度计算可分解成的平面图的最小数量，受限于所有这些图形可以与直边同时绘制的数量。所有顶点都绘制成凸起的位置，形成图形的圆形布局，又增加了额外的限制。 然而，这三个厚度参数中的两个总是处于彼此恒定的因子之内。

计算复杂性

计算给定图形的厚度是非常困难的，并且难以确定测试厚度是否至多为两个。然而，与轴向的连接允许在多项式时间内将厚度近似为近似比3。