基本内容

对于非周期函数f(t),可以将它看成是某个周期函数fт(t)当т→+∞时转化而来的。即：

f(t)= limfт(t)(1)т→+∞

由傅里叶复指数形式可得：

+∞ T/2f(t)= lim 1/T *∑[∫fт(u)*exp(-inωu)du]*exp(inωt)(2)T→+∞n=-∞ -T/2

令ωn=nω(n=0,1,2,…)，则有Δωn=ωn+1-ωn=2∏/T（此n是下角标），显然，当т→+∞时，Δωn→0，故（2）式又可以写成

+∞T/2f(t)= 1/2∏*lim ∑[∫fт(u)*exp(-iωnu)du]*exp(iωnt)*Δωn （n是下角

Δωn→0 n=-∞ -T/2

标）（3）记T/2Fт(ω)=∫fт(u)*exp(-iωu)du-T/2

+∞F(ω)=∫f(u)*exp(-iωu)du-∞

则+∞f(t)= 1/2∏*lim ∑[Fт(ωn)*exp(iωnt)*Δωn （此n都是下角标）Δωn→0n=-∞

显然，当Δωn→0时，Fт(ωn)→F(ωn)

从而（此n都是下角标）+∞+∞f(t)= 1/2∏*lim ∑Fт(ωn)*exp(iωnt)*Δωn= 1/2∏*lim ∑F(ωn)*exp(iωnt)*Δωn（4）Δωn→0n=-∞Δωn→0 n=-∞

分析一下：

首先看一下复变函数积分的定义，如下：定义：设C为复平面上以A起点B为终点的光滑（或分段光滑）的有向曲线，函数ω=f(z)在C上连续，如果以分点A=z0,z1,z2,...,zn-1,zn=B将曲线C任意分成n个n小弧段，并在每个弧段zn-1zn(k=1,2,...,n)上任取一点ζk，作和式Sn=∑f(ζk)*Δzk,其中Δzk=zk-zk-1，记弧段

k=1

zn-1zn的长度ΔSk，λ=maxlim{ΔSk}，若不1≤k≤n论对C如何分法及ζk如何取法，极限

nlim∑f(ζk)*Δzkλ→0 k=1存在，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C从A到B的积分，记为∫f(z)dz,即c

n∫f(z)dz= lim∑f(ζk)*Δzkcλ→0 k=1式中，f(z)为被积函数；C为积分曲线。