定义

使用二次型性能指标的线性系统最优控制。它可得到状态线性反馈的最优控制规律，便于实现闭环最优控制，是应用广泛的最优控制方式。

性能指标

线性系统状态方程及输出方程为

x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) (1)

y(t)=C(t)x(t) (2)

式中x(t)为n维状态向量;u(t)为p维控制向量;y(t)为q维输出向量。设z(t)为理想输出向量，与y(t)同维数，并定义

e(t)=z(t)-y(t) (3)

误差向量。线性二次型最优控制问题的性能指标为

这里，权函数F、Q(t)为正半定矩阵，R(t)为正定矩阵。假设tf固定。要求寻找最优控制u*(t)，使性能指标J为最小。被积函数的第一项表明误差e(t)的大小，是非负的。其第二项表明控制功率的大小，对应于u≠0它恒为正。因此，对u(t)往往不需再加约束，而常设u(t)为自由的。性能指标的第一项则表示终值误差。

状态调节器问题

系统状态方程如式 (1)所示，u(t)不受约束，tf固定，性能指标为

寻找最优控制u*(t)，使性能指标J为最小。

用极小值原理或动态规划法，可得下列矩阵黎卡提微分方程(一阶非线性微分方程)

P(t)=-P(t)A(t)-AT(t)P(t)+P(t)B(t)R-1(t)BT(t)P(t)-Q(t) (6)

其边界条件为

P(tf)=F (7)