概念

复射影空间是实射影空间的推广，即复欧氏空间添加无穷远点构成的空间。添加了无穷远点的复平面称为一维复射影空间，记为CP1，推广到n维，便得到n维复射影空间，它具体构作如下：给定n+1维复欧氏空间Cn+1，考虑子集合Cn+1\{0}。在其中引进等价关系如下：如果对Cn+1\{0}中的点(z1，z2，…，zn+1)和(w1，w2，…，wn+1)，存在非零复数ρ，使得：

则称此两点互相等价，于是Cn+1\{0}成为等价类之并集，含代表元素z=(z1，z2，…，zn+1)的等价类为：

所有等价类构成之集合记为CPn，称为n维复射影空间。

在n维复射影空间CP中取出以点(z1，z2，…，zn，1)为代表元素的等价类，这些等价类构成CPn中的子集，其中每个点：

对应C中的点(z1，z2，…，zn)，这是到C上的一一对应.将看做和C等同，在这个意义下，C⊂CP，而CP\C中的点称为C的无穷远点。所以n维复射影空间是由n维复欧氏空间添加无穷远点而成。

利用Cn+1\{0}到CPn之自然投影映射：

用Cn+1\{0}之欧氏拓扑结构，在CP中可引进关于σ的商拓扑，于是CP为紧复流形。

射影空间

射影空间是整体几何最基本的研究对象之一。射影空间的概念最初产生于古典射影几何。对于射影定理中的奇异情形(即有些直线相互平行的情形)，为方便起见引入无穷远点的概念，即规定平面上每条直线上有一个无穷远点，两条直线平行就是相交于无穷远点，所有无穷远点组成一条无穷远直线。这种构造方法还可以推广到高维空间，建立n维(实)射影空间PR。在n维射影空间中常采用齐次坐标(X0∶X1∶…∶Xn)，其中X0，X1，…，Xn不全为0；若a≠0，则(aX0∶aX1∶…∶aXn)与(X0∶X1∶…∶Xn)表示同一个点。因此n维(实)射影空间同构于(R-{0})/R.进一步的研究表明PR是紧致解析流形。若令Ui(0≤i≤n)为PR中坐标Xi≠0的点全体，则UiR，且U0，U1，…，Un组成PR的一个开覆盖。上述构造方法可以推广到任意体K上，建立K上的n维射影空间PK.在概形理论中，还将射影空间建立在整数环Z上，即建立射影概形PZ。由此对任意概形X可以建立PX，它是X和PZ(在Spec Z上)的纤维积。特别地，若X=Spec K(K为域)，则PX=PK。

由于射影空间的性质非常丰富难以全面列举，仅举数例如下：

1.PR同胚于圆，PC可看做添上无穷远点的复平面，同胚于球面。

2.PR是单侧曲面，可以同胚地嵌入四维空间R，但不能同胚地嵌入三维空间R，PC是代数极小曲面。

3.PC是克勒流形，它的闭解析子空间都是代数的。

4.对任意域k，Pk是齐性空间，其切丛由整体向量场生成，其自同构群为射影群PSL(n+1，k)，其皮卡群Pic(Pk)Z。