基本介绍

若C为q元[n，k，d]线性码，若存在整数t(0<t<d)，使得对偶码C⊥中至多有d-t个非零重量ω适合1≤ω≤n-t，则C中重量d的码字的支撑集全体构成集{1，2，…，n}上的一个t设计，当q=2时，C中任一重量τ的码字的支撑集全体构成t设计2。

阿斯莫斯-马特森定理的应用

下面以扩充戈莱码为例说明这一定理的应用，设U为一个11阶方阵，其(i，i+1)位置为1，其余的元素为0，记

A=I+U+U3+U4+U5+U9，

其中I为单位阵，以E及Φ分别记元素全为1及全为0的行向量，若

则以G为生成矩阵的二元[24，12]线性码称为扩充戈莱码。这是一个双偶自对偶码，其重量计数子为

A(z)=1+759z8+2576z12+759z16+z24.

由阿斯莫斯-马特森定理得到：重量8的码字构成一个施泰纳系S(5，8，24)；而重量12及16的码字分别构成5-(24，12，48)设计及5-(24，16，78)设计2。

阿斯莫斯-马特森定理的推广

Assmus-Mattson定理有一个针对线性码或者非线性码的推广。考虑到(n,M,d)码C(可能非线性)的距离分布为序列, Bi为距离为i的码字对的数目,该数目可以整除M。非线性对偶码的距离分布可以由MacWiliams变换表示,具体为下述等式:

如果C为线性的,则为对偶码C⊥的分布。

令为使B'i≠0的非零下标i,则d'=σ1称为C的对偶距离,s’为C的扩展距离。

定理1(n,M,d)码C含有0向量且距离分布为序列,s为该码字非零距离数。当Bn=0时,令=s;当Bn>0时,令=s-1。

(a)如果<d ,则码C中任何重ω≥d'-s的码字形成(d'-)-设计；

(b)如果d-s'≤s'<d，则任何固定重量的码字形成(d-s')-设计。

定理2如果C为二元偶自对偶码, (包括仅具有自对偶形式的码) ,其长度为n=2(mod8),则C∪C⊥中具有固定重量的码字形成3-设计。