基本内容

马尔可夫数问题(Markoff numbers problem)一个著名的不定方程的解引出的著名的整数问题.不定方程

xz十y+zz~3xyz，(1)

已引起了广泛的研究.用x=y=1代人，可求得方程(1)的两个整数解(1,1,1和(1,1,2，一般称为方程(1)的奇异解.可以证明，除了这两个奇异解外，方程(1)的其他整数解((x,y,z)中的三个数没有相同者，而且都可以由这两个奇异解借助解二次方程得到.下面列出一些较小的解(其中x越y毛z，并按z值由小到大排列):

(1，1，1)，(1，1，2)，(1，2，5)，(1，5，13)，(2，5，29)，

(1，13，34)，(1，34，89)，(2，29，169)，(5，13，194)，…

方程(1)的正整数解中的z的取值由小到大是:1，2，5，13，29，34，89，169，194，233，433，610，985，…称为马尔可夫数.是俄国数学家马尔可夫(Mapxoe},A. A.)大约在1879年研究过的方程(1)(称为马尔可夫方程)的整数解引出的数.关于马尔可夫方程与马尔可夫数之间有一个未解决的问题:每一个马尔可夫数z是否都能确定惟一一个马尔可夫方程(1)的整数解((x,y,z)?这里xvy

M(N)=C(1nN)2+O((1nN)’+‘)，

式中。为任意小的正数，C}O. 180717105，并且他猜测，第n个马尔可夫数式中A=el} }}10.5101504.

比马尔可夫方程更一般的是赫尔维茨方程 二l+式+…+x笼= ax,xz...x. (2)

这是德国数学家赫尔维茨(Hurwitz, A.)大约在1907年提出的.可以证明，对于a}n，方程(2)没有正整数解;对于a=n，方程(2)的正整数解都可以由生成元(1,1,"',1)产生;对于a:1簇a簇n,力一程(2)必有有限个解(称为生成元)可以产生所有其他正整数解.1993年，巴拉戈(Baragar,A.)已经证明:对于任意给定的正整数g，必有无穷多对((a,n)，使得要获得方程(2)的全部解至少需要K个生成元.对于给定的正整数N，赫尔维茨方程

二{+xi+…+x三= nxixz…二，，满足二镇N(i=1, 2, """,n)的正整数解的个数记为M(n,N).巴拉戈证明了，对于任给的。}O,M(n,N)的增大与C (1n N)00`'+‘同步.关于式中的a(n),扎基厄证明了a(3)=2，而a(4)介于2. 33与2. 64之间，后来又改进成:2. 43Ga(4)G2. 47一般地，有ogZ n镇a(n)镇1. 5 loge n.