性质

基本的组合恒等式

kC(k,n)=nC(k-1,n-1)

C(k,n)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m)

∑C(i,n)=2^n

∑[(-1)^i]*C(i,n)=0

C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n)（这个性质叫组合的【聚合性】）

C(k,n)+C(k,n+1)+……+C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1)-C(k+1,n)

C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+……+C(p-1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)=C(p,m+n)

应用

(一)多项式的求和

例一

∑i^2

=∑i(i-1)+∑i

=2∑C(2,i)+∑C(1,i)

=2C(3,n+1)+C(2,n+1)

=(n+1)n(n-1)/3+(n+1)n/2

=(1/6)n(n+1)(2n+1)

例二