简介

叠合度亦称重合度，是为了讨论方程Lx=Nx的解，利用勒雷-绍德尔度来定义的一种度。

这里L:domL⊂X→Z是零指标的弗雷德霍姆线性算子，N:⊂X→Z是非线性算子，X,Z是巴拿赫空间，Ω是X中有界开集。由假定可知，存在有限维子空间N0⊂Z与商空间Z/Im L同构，且存在连续投影算子P:X→ker L,Q:Z→N0满足ImP= ker L，kerQ= ImL，X= ker L⨁kerP，Z= ImL⨁ImQ。记Kp:ImL→dom L∩ ker P为L在dom L∩ker P上的限制的逆算子，并令KP,Q=KP(I-Q):Z→domL∩kerP，这里I为恒同映射。

设J:ImQ→ker L是一同构，并令HJ,P,Q= JQ+Kp,Q:Z→dom L。设N是L紧的（即QN:→Z和KP,Q,N:→X都是紧的）且0∉F(dom L∩∂Ω)，这里F= L-N。于是，易知HJ,P,Q=I-A,其中A=P+ JQN+Kp,QN:→X是全连续算子，且0∉(I-A)(∂Ω)，故勒雷-绍德尔度deg(I- A,Ω,0)存在，它就定义为F在Ω上关于L的叠合度，记为DL(F,Ω)。

应用

叠合度可证DL(F,Ω)与P,Q以及J（保持定向）的选择无关，并具有可加性、同伦不变性、可解性等性质。

例如，可解性指的是：若DL(F,Ω)≠0，则Lx=Nx在domL∩|Ω中有解。

叠合度是讨论非线性常微分方程边值问题一个有力工具。1

勒雷-绍德尔度

勒雷-绍德尔度是对无穷维赋范线性空间中的全连续向量场建立的拓扑度。

设X是赋范线性空间，Ω是X中的有界开集，F:→X全连续，f=I-F是全连续向量场，p∈X\f(∂Ω)，那么，距离dist(p,f(∂Ω))=ε>0。取X的有限维线性子空间Xn与连续映射Fn:→Xn使得p∈Xn，且‖F(x)-Fn(x)‖<ε(∀x∈)。这时，布劳威尔度deg()有意义，且与Xn和Fn的选取无关，把它作为f在Ω上关于点p的拓扑度deg(f,Ω,p)的定义，此即勒雷-绍德尔度。

参考资料