简介

在现代物理学（特别是广义相对论）中，时空是用洛伦兹流形表示的。流形中两点之间的因果关系可以用来描述时空中哪些事件可以影响到其他的哪些事件。

闵可夫斯基时空是洛伦兹流形的简单代表。由于闵可夫斯基时空是平直的，因而其中两点之间的因果关系非常容易表示。

任意洛伦兹流形（可能是弯曲的）的因果结构由于曲率的存在会较为复杂。对于这些流形中的因果结构的讨论就得从有邻点对的光滑曲线的角度来描述：首先讨论曲线切矢量的各种情况，然后给出因果关系的定义。

切矢量

如果是一个洛伦兹流形（流形的度规为），那么这个流形上任意点的切矢量就可以分为下属三种情况：

类时矢量：

零矢量或类光矢量：

类空矢量：

（度规的符号数为）。如果一个切矢量是零矢量或类时矢量，那么它就是“非类空矢量”。这里对各种切矢量的命名方式是从闵可夫斯基时空中的情况推广而来的。

时间的可定向性

中任意点的切空间中的类时切矢量可以分为两类。在此之前需要先定义两个类时切矢量的等价关系。

如果和是一个点的两个类时切矢量，那么在时，和是等价的（记作）。

此时有两个等价类可以包含这个点上的所有类时矢量。其中一个可以称作“指向未来”，另一个则可称作“指向过去”。从物理意义上说，指定指向未来与指向过去的类时矢量就是在选择这个点的时间箭头。指向未来类与指向过去类的定义可以通过连续性延伸到零矢量。

那么如果在整个流形上都可以连续地给出非类空矢量“指向未来”与“指向过去”的定义，这个洛伦兹流形就是时间可定向的 。

曲线

中的“路径”是指中的连续映射（其中是一个非退化区间，也就是包含多于一个点的连通集）。“光滑”路径可以进行一定阶的微分（通常是），而“正常”路径有非零导数。

中的“曲线”是指路径的图像，或者更准确来说是通过再参数化给出的路径-图像等价类，也就是的同胚或微分同胚。当是时间可定向的时候，曲线在参数变化单调时就是“有朝向的”。

中的光滑正常曲线（或路径）可以依据它们的切矢量分类：