登录
  • 1.摘要
  • 2.定理陈述
  • 3.定理证明
  • 4.物理应用

索霍茨基－魏尔斯特拉斯定理

The Sokhatsky–Weierstrass 定理 (亦作Sokhotsky–Weierstrass 定理, Sokhotski–Plemelj formula, 或 Weierstrass theorem（勿与 various other theorems called the "Weierstrass theorem"混淆）是复分析中的一个定理，用于计算很多问题中出现的柯西主值。物理学问题中很多见，但鲜有其命名的引用。该定理源自Julian Sokhotski, Karl Weierstrass和Josip Plemelj。

定理陈述

令ƒ为定义在实线上的连续函数，a与b为实常数，满足a < 0 < b。则

image

其中image表示柯西主值.

定理证明

简单证明如下：

image

注意到第一项 image 为狄拉克δ函数之先趋函数，在此极限下趋近狄拉克δ函数。 因此第一项等于 image.

第二项，注意到因子在当 |x| >> ε时，image趋近于1；当|x| << ε时趋近于0并关于零对称。 因此极限下为柯西主值积分。

物理应用

在量子力学和量子场论中，经常需要计算如下形式的积分，

image

其中E为能量，t为时间。 上式对时间积分不收敛, 因此一般需为t加入一个负的常系数，然后再令其趋于0。

image

image

其中最后一步用到了该定理。

在等离子体物理中,推导朗道阻尼的过程中使用到该定理,从而揭示了波在无碰撞过程中亦存在阻尼现象.