七次方程
七次方程是可以用下式表示的方程
其中a ≠ 0.
而七次函数是可以用下式表示的函数：
其中a ≠ 0。换句话说，七次函数也就是阶数为7次的多项式，若a = 0，则多项式最多只为是六次函数。
若将令七次函数y(x) = 0，即可得到七次方程。
七次方程的系数a, b, c, d, e, f, g, h可以是整数、有理数、复数或是任何一种体的元素。
因为七次函数的阶数为奇数，所以它的函数图形类似三次函数及五次函数，不过可能会有更多的局部极大值与局部极小值。事实上，七次函数至多有三个局部极大值与三个局部极小值，因为其导数为六次方程。
七次方程求根
只有少部分的七次方程的根可以由系数的四则运算与根号表示，大部分的七次方程都不行。埃瓦里斯特·伽罗瓦发现了一个方法可以判断一条七次方程能否通过四则运算及开根号等运算求出其根，并且同时创立了伽罗瓦理论。我们可以借由推广亚伯拉罕·棣莫弗五次方程得到一个不可约但可解的七次方程。例如
其辅助方程为
设 
、 
，则以上方程化简为 
。故 
、
皆为辅助方程的根。
所以，该七次方程的七个根
为
在此，
是1的七次单位根，
是辅助方程中 
两个根。
这个构造不可约的可解方程式的方法可以被推广到 k 次多项式，k 是正整数。
此外 Kluner 在 Database of Number Fields 给出的另外一个例子是
它的判别式是
注意到当 d = −467 时有类数 h(d) = 7。而这类七次方程的伽罗瓦群乃是一个十四阶的二面体群。
有了七阶交错群
以及七阶对称群
，我们就可以解所有的七次方程，但是，有些七次方程的根须要超椭圆函数和相关亏格为三的Θ函数。但是因为求解六次方程的根已达到人脑计算能力的上限，所以一直要到十九世纪计算器问世之后数学家才开始着手研究他的代数解。
希尔伯特第十三问题即猜测一般的七次方程是不可解的，然而，在公元1957德国数学家弗拉基米尔·阿诺尔德证明了七次方程求根必须通过解一个叠加且连续的双变数函数。而阿诺尔德先生解释道：或许希尔伯特第十三问题应该是一般的七次方程是不是可解的。
伽罗瓦群
每个可以借由将其系数加减乘除及开根号求根七次方程都有伽罗瓦群，而它可以是的七阶的循环群、十四阶的二面体群、二十一或四十二阶的亚循环群。