正式定义

设Μ是一个光滑流形，是Μ上一个光滑向量场。我们记一个丛Ε截面的空间为。一个阶数为ρ的Ε-值微分形式是Ε与，Μ的余切丛的ρ-次外幂，的张量积丛的一个光滑截面。这样的形式的空间记作

习惯上一个E-值 0-形式就是丛E的一个截面。即

等价地，一个E-值微分形式可以定义为一个完全斜对称的丛态射

设V是一个给定的向量空间。一个阶数为ρ的V-值微分形式是一个取值于平凡丛的微分形式。这样的形式的空间记作。当我们重新得到了通常的微分形式。

向量值形式的运算

拉回

与通常的形式一样，对向量值形式我们可以定义通过光滑映射的拉回。N 上 E-值形式通过一个光滑映射 φ : M → N 的拉回是 M 上一个 (φ*E)-值形式，这里 form on M, where φ*E 是 E 通过 φ 的拉回丛。

公式和通常的情形一样。对 N 上任何一个 E-值 p-形式 ω， 拉回 φ*ω 由

给出。

楔积

与通常微分形式一样，可以定义向量值形式的楔积。一个 E1-值 p-形式与一个 E2-值 q-形式的楔积是一个自然的 (E1⊗E2)-值 (p+q)-形式:

定义就和通常的微分形式一样，只不过实数乘法为张量积取代：