构造

设是域上一个向量空间。对任何非负整数，我们定以的次张量积为与自己的次张量积：

。

这便是讲，由上所有秩张量组成。习惯上是基域（作为自己的一维向量空间）。

令为所有（）的直和：

。

中的乘法由典范同构确定：

由张量积给出，然后线性扩张到所有。此乘法表明张量代数自然是一个分次代数，作为次子空间。

此构造可径直推广到任意交换环上的模上。如果是一个非交换环，我们仍然可以对任意- 双模执行这样的构造。（对通常的-模不行，因为没有迭代张量积。）

伴随与泛性质

张量代数也成为向量空间上的自由代数，并具有函子性。像其它自由构造一样，函子左伴随于某个遗忘函子，该函子将每个-代数送到它的底向量空间。

准确地说，张量代数满足如下的泛性质，正式地表明它是包含的最一般的代数：

任何从到上的一个代数的线性变换可以惟一地扩张为从到的一个代数同态，如下交换图表所示：

这里是到的典范包含（伴随的单位）。事实上可以定义张量代数为满足这个性质惟一的代数（确切地说，在惟一的一个同构意义下），但仍然要证明满足这个性质的对象存在。

如上泛性质说明张量代数的构造有自然的函子性。就是讲，是从-Vect，上向量空间范畴，到-Alg，-代数范畴，的一个函子。的函子性意味着任何从V到W的线性映射惟一地扩张为从到的代数同态。

非交换多项式

如果为有限维，张量代数的另一个看法是“ 上个非交换变量的多项式代数”。如果我们取的基向量，它们成为中的非交换变量（或不定元），彼此间没有任何约束（除了结合律，分配律以及K-线性）。