卷绕数

平面上的闭曲线关于某个点的卷绕数，是一个整数，它表示了曲线绕过该点的总次数。卷绕数与曲线的定向有关，如果曲线依顺时针方向绕过某个点，则卷绕数是负数。

卷绕数在代数拓扑中是基本的概念，在向量分析、复分析、几何拓扑、微分几何和物理学中也扮演了重要的角色。

描述

假设在xy平面上有一条有向的闭曲线。我们可以把曲线想象为某个物体的运动轨迹，运动方向就是曲线的方向。曲线的卷绕数就是物体逆时针绕过原点的总次数。

计算绕过原点的总次数时，逆时针方向的运动算正数，顺时针方向的运动算负数。例如，如果物体首先依逆时针方向绕过原点四次，然后再依顺时针方向绕过原点一次，那么曲线的卷绕数就是3。

利用这种方案，根本不绕过原点的曲线的卷绕数就是零，而顺时针绕过原点的曲线的卷绕数就是负数。因此，曲线的卷绕数可以是任何整数。以下的图中显示了卷绕数为-2、-1、0、1、2和3的曲线：

x-y平面上的曲线可以用参数方程来定义：

如果我们把参数t视为时间，那么这个方程就描述了物体在t = 0和t = 1期间在平面上的运动。只要函数x(t)和y(t)是连续的，运动的轨迹就是一条曲线。只要物体的位置于t = 0和t = 1时相同，这条曲线就是闭曲线。

我们可以用极坐标系来定义这种曲线的卷绕数。假设曲线不经过原点，我们可以把参数方程写成极坐标的形式：

函数r(t)和θ(t)必须是连续的， r > 0。因为最初和最终的位置是相同的，所以θ(0)和θ(1)的差必须是2π的整数倍。这个整数就是卷绕数：

卷绕数

这个公式定义了xy平面上曲线关于原点的卷绕数。把坐标系平移，我们就可以把这个定义推广到关于任何点p的卷绕数。

卷绕数在不同的数学领域中通常有不同的定义。以下的定义都与上面的定义等价。

在微分几何中，通常假设参数方程是可微的（或至少分段可微的）。在这种情况下，极坐标系θ与直角坐标系x和y有以下的关系：

，其中