有限平面

有限平面几何可以分为仿射与射影两类。在仿射空间中可以探讨线的平行性，射影空间则否。

定义. 仿射平面是一个非空集 （其成员称为点）及一族 的子集 （其成员称为线），使之满足下述条件：

1. 1.

   任两点包含于唯一的一条线。

   平行公设：给定线 及点 ，存在唯一的线 使之包含 且 。

   存在四个点，其中任三点不共线。

最后一条公设保证几何非空，前两条公设确定了几何的性质。

最简单的仿射平面由四点构成，其中任两点决定唯一一条线，所以此平面有四条线。这可以设想为四面体的顶点与边。

一般而言，阶仿射平面有 个点与 条线；每条线含 点，每点落于 条线。

定义. 射影平面是一个非空集 （其成员称为点）及一族 的子集 （其成员称为线），使之满足下述条件：

1. 1.

   任两点包含于唯一的一条线。

   任两条相异的线交于唯一一点。

   存在四个点，其中任三点不共线。

Fano 平面的图解

在上述公理中，我们可以交换点及线的角色，这蕴含了射影几何的对偶性：若射影几何的某命题成立，则将命题中的点与线互换后，新命题依然成立。

最简单的射影平面称作 Fano 平面，又称二阶射影平面，由七条线及七个点构成。若除去任一直线（及其上之点），将得到二阶仿射平面。

一般而言， 阶射影平面的点、线个数均为 ，每条线含 个点，每个点落于 条线。

对任意正整数 ， 阶射影或仿射平面的存在性至今未解。一般的猜想是这种几何存在当且仅当 是素数幂。

有限几何的对称群

若一映射 保存共线关系，则称之为 的对称（或自同构）。Fano 平面的对称群同构于 ，有 个元素。