简述

在线性代数中，基(basis)（也称为基底）是描述、刻画向量空间的基本工具。向量空间的基是它的一个特殊的子集，基的元素称为基向量。向量空间中任意一个元素，都可以唯一地表示成基向量的线性组合。如果基中元素个数有限，就称向量空间为有限维向量空间，将元素的个数称作向量空间的维数1。

使用基底可以便利地描述向量空间。比如说，考察从一个向量空间射出的线性变换f，可以查看这个变换作用在向量空间的一组基上的效果。掌握了，就等于掌握了 f对中任意元素的效果。

不是所有空间都拥有由有限个元素构成的基底。这样的空间称为无限维空间。某些无限维空间上可以定义由无限个元素构成的基。如果承认选择公理，那么可以证明任何向量空间都拥有一组基。一个向量空间的基不止一组，但同一个空间的两组不同的基，它们的元素个数或势（当元素个数是无限的时候）是相等的。一组基里面的任意一部分向量都是线性无关的；反之，如果向量空间拥有一组基，那么在向量空间中取一组线性无关的向量，一定能将它扩充为一组基。在内积向量空间中，可以定义正交的概念。通过特别的方法，可以将任意的一组基变换成正交基乃至标准正交基。

定义

给定一个向量空间。的一组基B是指里面的可线性生成的一个线性无关子集。B的元素称为基向量。

更详细来说，设是在系数域F（比如实数域R或复数域C）上的向量空间V的有限子集。如果满足下列条件：

对任意，如果，则必然；

对任意，可以选择，使得。

就说B是向量空间的一组基。第二个条件中，将一个向量表示成的形式，称为向量 v在基底下的分解。称为向量v在基底B下的分量表示。

有有限基的向量空间叫做有限维的空间。要处理无限维的空间，必须把上述基的定义推广为包括无限的基集合。如果向量空间V的一个子集 (有限或无限B满足：

它的所有有限子集满足上面的第一个条件（即线性无关）；

对任意，可以选择，以及，使得。

就称B是无限维空间的一组基。

没有装备拓扑结构的向量空间的结构不足以谈论向量的无限和，因此上述定义只包括对有限个向量求和。

性质

设B是向量空间的子集。则B是基，当且仅当满足了下列任一条件：

是B的极小生成集，就是说只有B能生成，而它的任何真子集都不能生成全部的向量空间。

B是中线性无关向量的极大集合，就是说B在中是线性无关集合，而且中没有其他线性无关集合包含它作为真子集。