向量空间是现代数学中的一个基本概念。是线性代数研究的基本对象。
向量空间的一个直观模型是向量几何，几何上的向量及相关的运算即向量加法，标量乘法，以及对运算的一些限制如封闭性，结合律，已大致地描述了“向量空间”这个数学概念的直观形象。
在现代数学中，“向量”的概念不仅限于此，满足下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。
公理化定义
给定域F，F上的向量空间V是一个集合，其上定义了两种二元运算：
向量加法 + : V × V → V，把V中的两个元素 u 和 v 映射到V中另一个元素，记作 u + v；
标量乘法 · : F × V → V，把F中的一个元素 a 和 V 中的一个元素u变为V中的另一个元素，记作 a ·u。
V中的元素称为向量，相对地，F中的元素称为标量。
而集合V公理才构成一个向量空间（对F中的任意元素a、b以及V中的任意元素u、v、w都成立）：
公理 | 说明 |
向量加法的结合律 | u + (v + w) = (u + v) + w |
向量加法的交换律 | u + v = v + u |
向量加法的单位元 | 存在一个叫做零向量的元素0 ∈ V，使得对任意u ∈ V都满足u + 0 = u |
向量加法的逆元素 | 对任意v ∈ V都存在其逆元素−v ∈ V使得v + (−v) = 0 |
前四个公理说明装备了向量加法的V是交换群，余下的四个公理应用于标量乘法。需要注意的是向量之间的加法“+”和标量之间的加法“+”是不一样的，标量与向量之间的标量乘法·和两个标量之间的乘法（域F中自带的乘法）也是不一样的。
简而言之，向量空间是一个F−模。
基本性质
以下是一些可以从向量空间的公理直接推出的性质：
零向量0是唯一的；
对任意a ∈ F，a · 0 = 0；
对任意u ∈ V，0 ·u = 0（0是F的加法单位元）。
如果a ·u = 0，则要么a = 0，要么u = 0。
向量加法的逆向量v是唯一的，记作− v。u + (− v)也可以写成u − v，两者都是标准的。
对任意u ∈ V，−1 ·u = − u.
对任意a ∈ F以及u ∈ V， (−a) ·u= −(a ·u) = a · (− u).
例子
