逻辑学的发展

本文从自然语言、半形式化语言和形式化语言的特征看逻辑学的发展。

自然语言

自然语言文字的一个重要特征 : 人们在日常生活中所使用的语言文字，可以分为拼音语言文字和非拼音语言文字两大类。英语语言文字、俄语语言文字、法语语言文字、德语语言文字、意大利语语言文字、西班牙语语言文字等都是拼音语言语言文字。

汉语语言文字是一种非拼音语言语言文字。不管是拼音语言语言文字还是非拼音语言语言文字都属于自然语言语言文字的范畴。然而，任何一种自然语言语言文字都是一个丰富的、复杂的“符号”系统。这种符号系统包括语音、语汇、语法等作为子系统，每一子系统又都包括许多不同特点的语言单位，单位和单位之间的关系错综复杂，但有规律可循。就每一个语言单位（例如，一个词）而言，它的语音形式是依照语音系统的规则构成的，它的意义与词汇系统中的许多方面发生联系，它的功能受语法规律的支配。

语言单位是声音和意义的结合。语言单位的声音虽然千差万别，但是构成不同语言的基础（音位）通常只有 40 个左右。这就说明不同的语音的基础音位是有穷的。由于词是由有限个基础音位生成的，于是，构成任何一种自然语言语言文字的词汇也是有穷的。从而，由有限个词构成的句子也是有穷的。例如，英语语言文字有 26 个字母组成，英语语言文字中的词是由有限个字母的有限次组合而成的，因此，英语语言文字的词的个数是有穷的。 英语语言文字的句子是由有限个词的有限次组合再按照一定的规则生成的，从而，英语语言文字的句子的个数也是有穷的。依次类推由此可得：英语语言文字是一种有穷的语言文字，汉语语言文字也是如此。因为，汉语语言文字是由偏旁部手组成的，虽然汉语语言文字的偏旁部手要比英语语言文字的 26 个字母多得多，但它也只有有穷多个。汉字是由有限个偏旁部手的有限次组合生成的，有限个汉字的有限次组合再按照一定的规则生成句子，等等。

总之，任何一种自然语言文字都是一种有穷语言 。

半形式化语言

半形式化语言的主要特征: 半形式化语言的种类很多，我们以数学语言为例来分析半形式化语言所具有的主要特征。

数学语言是指数学这一学科特有的语言。虽然数学语言与自然语言有许多共同之处，但是，任何一个数学分支的语言都是在自然语言的基础上附加一些特定的符号，它们与自然语言相比更具形式化。因此，称它为半形式化的语言。这种半形式化的语言具有以下三个重要特征：

（ 1 ） 无穷性 由于数学研究的对象是“数”与“量”这些无穷概念。而与之相应的任何一种数学语言都是一种无穷语言。因此，它们具有更强的表达能力。就拿最简单的算术语言来说，它研究的对象是 0,1 ， 2 ，…， n ，…这些自然数的性质。除此之外，它还包括+， · 等用来表示自然数加法和乘法运算的符号。对任意的自然数 m 和 n ，人们都可以进行两个自然数的加法（ m+n ）和乘法（ m·n ）的运算。

（ 2 ） 统一性 由于数学语言中使用了特定的记号，从而使数学语言成为一种半形式化的符号语言，这样以来，数学语言比任何一种自然语言更具有“统一性”。如：在任何一种自然语言编著的平面几何学的教科书中，符号“△”都表示三角形。在任何一种自然语言编著的微积分的教材中，符号“∫”都表示积分。因此，数学语言作为一种特定的符号语言，与自然语言相比，它简单、直观和严密。再如，数学命题：“两个数和的平方等于这两个数的平方和再加上这两个数乘积的 2 倍”。用通用的数学符号，就可以形式地表示为：

（ a + b ） 2 = a 2 + 2 ab + b 2

这里的符号 a 和 b 表示任意的数，符号“+”表示加法运算， ab 表示 a 和 b 这两个数的乘积。 x 2 表示 x 自乘，即： x 2 =x·x 。这种写法，全世界的中学生们都认识。

（ 3 ） 可操作性 数学语言作为一种特定的符号语言，与自然语言相比，它与算法建立了联系。因此，它还具有“可操作性”。法国数学家违达提出：我们可以用字母（即符号）表示已知量和未知量，并对此进行纯形式的操作，也即我们可以摆脱问题的具体内容，而从一般角度总结出普遍的算法。正如人们所熟悉的，我们可以按照以下的算法去求得任何一个一元一次方程的解：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤同除以未知数的系数。

因此，许多数学家都认为的符号系统促进了整个数学的发展。特别地，数学家克莱因对代数学的情况写道：代数学上的进步是引进了较好的符号体系，这对它本身和分析的发展比 16 世纪技术的进步远为重要。事实上，采取了这一步，才使代数有可能成为一门科学。” （《古今数学思想》，第一册，第 301 页）正是在这种意义上，数学家迪多内认为：“好的符号往往伴随着易于使用它们的算法：我们把这理解为计算或常规的推论，就是说一旦确定之后就是永远如此，对它们的应用几乎是自动化的，不需要从头做起，这样，极为明显地简化了数学语言，并且可以集中注意力于证明的基本要素。”与此相反，“常常是由于缺乏能够说清楚真正实质的符号，数学的某个领域就得不到发展”（郑毓信，第 41 页）。

数学语言与任何一种自然语言相比较，除了具有以上特点外，还具有无歧异性、简明性等特点。

历史上，第一个有意识地、系统地在数学中使用字母的学者是十六世纪法国数学家韦达。他的这一工作不仅推动了代数学的发展，而且对十七世纪的数学家和逻辑学家莱布尼茨启发很大。因此，使数学本身有一套好看的、通用的符号，成为莱布尼茨在数学研究中的努力追求。因此，莱布尼茨的工作，导致了他在数学符号发展史上占据着重要的地位。如：莱布尼茨本人创立的微积分符号体系。在他的符号体系中， dx 表示 x 的微分， ddx 和 dddx 分别表示 x 的二阶和三阶微分。他还用符号 d m x 来表示 x 的 n 阶微分，特别地，他把复合函数的求导法则表示成：

dy/dx = （ dy/dz ）（ dz/dx ）。