基础定义

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介值定理，又名中间值定理，是闭区间上连续函数的性质之一，闭区间连续函数的重要性质之一。在数学分析中，介值定理表明，如果定义域为[a，b]的连续函数f，那么在区间内的某个点，它可以在f（a）和f（b）之间取任何值，也就是说，介值定理是在连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间。

这有个重要的推论：

如果一个连续函数在区间内有相反符号的值，那么它在该区间内有根存在（博尔扎诺定理）；

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介值定理说明如下。

考虑实数域上的区间以及在此区间上的连续函数。那么，

（1）如果u是在a和b之间的数，也就是说：

那么，存在使得。

（2）值域也是一个区间，或者它包含，或者它包含。

定理关系

定理取决于，或者说等价于实数的完整性。 介值定理不适用于有理数Q，因为有理数之间存在无理数。 例如，函数满足。 然而，不存在有理数x使得，因为是一个无理数。

推导过程

该定理可以根据实数的完整性来证明：

我们将证明第一种情况，，第二种情况类似。

让S是[a，b]中的所有x的集合，让。S是非空的因为a是S的元素，并且b是S的边界。 因此，通过完整性，存在上限。 也就是说，c是大于或等于S的每个元素的最小数。我们称。

存在。 由于f是连续的，当时，存在，使得。 这意味着