基础定义

数学分析的主要内容是微积分学，微积分学的理论基础是极限理论，极限理论的理论基础是实数理论。微积分学是微分学(Differential Calculus)和积分学(Integral Calculus)的统称，英语简称Calculus，意为计算，这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题。后来人们也将微积分学称为分析学（Analysis)，或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。

早期的微积分，已经被数学家和天文学家用来解决了大量的实际问题，但是由于无法对无穷小概念作出令人信服的解释，在很长的一段时间内得不到发展，有很多数学家对这个理论持怀疑态度，柯西（Cauchy）和后来的魏尔斯特拉斯（weierstrass）完善了作为理论基础的极限理论，摆脱了“要多小有多小”、“无限趋向”等对模糊性的极限描述，使用精密的数学语言来描述极限的定义，使微积分逐渐演变为逻辑严密的数学基础学科，被称为“Mathematical Analysis”，中文译作“数学分析”。

实数系最重要的特征是连续性，有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起了严密的数学分析理论体系。

应用举例

数学分析

数学分析在当前被分为以下几个分支领域：

实分析是数学分析中，专门处理实数及实值函数的一个分支。这包括对极限、微分、积分、幂级数和测度的研究。

复分析，是对从复平面到复平面的复数可微函数的研究，和复数的解析函数（或亚纯函数）有密切的关系。可以应用在许多不同的数学领域中，包括代数几何、数论、应用数学等，也广为应用在物理领域中，例如流体力学、热力学、机械工程、电机工程及量子场论。

泛函分析探讨函数空间及一些和向量空间相关的结构（例如内积、范数及拓扑空间）等，以及在作用在这些空间中的线性算子，也会介绍例如巴拿赫空间以及希尔伯特空间的概念。

傅立叶分析研究如何将一个函数或者信号表达为基本波形的叠加，并扩展成傅立叶级数和傅立叶变换的概念。

微分方程是未知数为一变数或多变数的函数，且方程和函数其导数或高阶导数有关的方程。微分方程在工程、物理、经济、生物学中都是重要的一部分。

数值分析是研究数学分析中相关问题（和离散数学不同）中有关数值近似（和符号运算不同）算法的研究。。许多问题的解析解是很难求得的，数值分析不在意解析解，比较著重在可接受的误差范围内找到近似解。

数学分析的技巧可以用在其他以下的领域：

物理科学

经典力学、相对论及量子力学中大部分的内容都是以数学分析及微分方程为基础。其中重要的微分方程包括牛顿第二运动定律、薛定谔方程及爱因斯坦场方程。

泛函分析是量子力学中的一个重要主题。

信号处理

信号处理可以用在许多不同信号的处理上，不论是声音、无线电波、光波、地震波其至影像，傅立叶分析可以取出信号中特定的成分，可以进一步将信号加强或是移除。大部分的信号处理技术都包括了将信号进行傅立叶转换、转换后信号进行简单的处理，再进行反转换。