简介

在数学中，对波莱尔集的研究主要是在描述集合论中。但是，大学数学系的学生通常是在实变函数论的课程中最早接触到波莱尔集。1

波莱尔集可以分成很多的层次。通常把开集和闭集定义为第一层。可数的开集的交集，可数个闭集的并集为第二层。依此类推，总的层次超过了可数层。

波莱尔集是由开集或闭集通过取并，取交或者取补形成的拓扑空间中的任何集合。

对于拓扑空间X，X上的所有波莱尔集的集合形成σ-代数，称为波莱尔代数或波莱尔σ-代数。 X上的波莱尔代数是包含所有开集（或所有闭集）的最小σ-代数。

波莱尔集在测度论中是很重要的，因为任何度量都在该空间上的开集和闭集以及波莱尔集上定义。在波莱尔集上定义的任何测度都被称为波莱尔测度。 波莱尔集和相关的波莱尔层也在集合理论中发挥关键性作用。

在某些情况下，波莱尔集被定义为由拓扑空间的紧集而不是开集生成。这两个定义对于许多空间（包括所有豪斯多夫σ-紧集）来说是等价的，但在病态空间中可以是不同的。2

生成波莱尔代数

在X是度量空间的情况下，波莱尔代数的第一意义上可以被描述如下：

对于X的子集的集合T，让：

（1）都是T的元素的可数集；

（2）是T的元素的所有可数交集；

（3）。

现在通过下列方式来定义序列，其中m是序数：

（1）对于定义的基本情况，让是X的开放子集的集合。

（2）如果i不是一个极限序数，那么i有一个紧接在前面的序数i-1，让

（3）如果i是一个极限序数，让