蝴蝶定理
数学几何定理
蝴蝶定理（Butterfly Theorem），是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一。这个命题最早出现在1815年，由W.G.霍纳提出证明。而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形像一只蝴蝶。这个定理的证法不胜枚举，至今仍然被数学爱好者研究，在考试中时有各种变形。
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基本信息
- 中文名
蝴蝶定理
- 外文名
Butterfly Theorem
- 别称
蝴蝶原理
- 表达式
XM=MY
- 提出者
W.G.霍纳
定理定义
蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。
蝴蝶定理的证明
该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广（详见定理推广）：
1. M作为圆内弦的交点是不必要的，可以移到圆外。
2. 圆可以改为任意圆锥曲线。
3. 将圆变为一个筝形，M为对角线交点。
4. 去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”， 不为中点时满足:，这对1, 2均成立。
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验证推导
霍纳证法
过O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T，
连接ON，OM，OS，SL，ST
可知∠F=∠D；∠C=∠E（同弧所对的圆周角相等）
△ESD∽△CSF（AAA）
证法1:霍纳证法
∴DS/FS=DE/FC
根据垂径定理得：DL=DE/2，FT=FC/2
∴DS/FS=DL/FT