法图引理

在测度论中，法图引理说明了一个函数列的下极限的积分（在勒贝格意义上）和其积分的下极限的不等关系。法图引理的名称来源于法国数学家皮埃尔·法图（Pierre Fatou），被用来证明测度论中的法图-勒贝格定理和勒贝格控制收敛定理。

叙述

设为一个测度空间，是一个实值的可测正值函数列。那么：

其中的函数极限是在逐点收敛的意义上的极限，函数的取值和积分可以是无穷大。

定理的证明基于单调收敛定理（非常容易证明）。设为函数列的下极限。对每个正整数 k ，逐点定义下极限函数：

于是函数列g1, g2, . . .单调递增并趋于。

任意k ≤ n，我们有gk ≤ fn，因此

于是

据此，由单调收敛定理以及下极限的定义，就有：

令为测度空间(S,Σ,μ)中的一列可测函数，函数的值域为扩展实数（包括无穷大）。如果存在一个在 S 上可积的正值函数 g ，使得对所有的 n 都有，那么

这里只需弱可积，即。

证明：对函数列应用法图引理即可。