解析数论的分支

解析数论主要分为两种，区分方式主要是因为待求解问题种类的不同，而比较不是因为使用技巧上的基本差异。

乘性数论处理的是质数的分布，例如估计一个区间内的质数个数，包括质数定理及狄利克雷定理。

堆叠数论是有关整数的堆叠结构，像是哥德巴赫猜想认为所有大于2的偶数都可以表示为二个质数的和。另一个堆叠数论的主要成果是华林问题的和。

历史

微积分和复变函数论发展以后，产生了解析数论。该学科的第一个主要成就是狄利克雷用解析方法证明了狄利克雷定理。依靠黎曼ζ函数对素数定理的证明是另一个里程碑。解析数论是解决数论中艰深问题的重要工具，数论中有些问题必须由解析方法才能提出或解决。中国的华罗庚开启了中国解析数论学派，王元、陈景润、潘承洞等人在“哥德巴赫猜想”上也有相当进展，陆续证明了“3＋4”、“2＋3”及“1＋2”，其中的“1＋2”就是陈氏定理。

问题及结果

解析数论的定理及成果比较不是有关整数精确结构的的结果，这方面用代数或是几何上的工具比较合适。解析数论的许多定理多半会预估一些数论相关函数的范围及预计。

乘性数论

欧几里得证明了质数有无限多个，可是很难找到可以快速判定一个整数是否是质数的方法（特别是整数很大时）。另外一个也有关系，但比较简单的问题是找到质数的渐近分布，也就是可以大略描述有多少质数小于特定整数。卡尔·高斯在计算大量的质数后提出其猜想，他认为小于或等于一个很大整数N的质数个数，接近以下的定积分

波恩哈德·黎曼在1859年利用复变分析以及一个特殊的亚纯函数（后来称为黎曼ζ函数）来推导小于等于特定实数x之质数个数的解析解。值得一提的是，黎曼公式的主要项就是上述的积分，因此让高斯的猜想更加重要。黎曼找到了解析解中的误差项和黎曼ζ函数的复数零点有密切的关系，因此质数分布的形式也和黎曼ζ函数的复数零点有关。雅克·阿达马及查尔斯·让·德·拉谷地普桑利用黎曼的概念，以及对ζ函数零点的资讯，致力证明高斯的猜想，而且他们证明了若

则

上述的结果目前称为质数定理，是解析数论的核心结果。简单的说，质数定理提到给定一个大数字N，小于等于N的质数个数大约有N/log(N)个。

堆叠数论

华林问题是堆叠数论中最重要的问题之一，问题是针对任意大于等于2的整数k，是否可以将任意正整数表示为有限个整数的k次方的和