罗尔定理

三大微分中值定理之一

罗尔定理（罗尔中值定理，Rolle's theorem）是以法国数学家米歇尔·罗尔命名的微分学中的一条重要定理，是三大微分中值定理之一（其余为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理）。

罗尔定理描述如下：

如果R上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间[a,b] 上连续，（2）在开区间(a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。

基本信息

用罗尔中值定理证明：方程

3在 (0,1) 内有实根。

证明：设

则 F(x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，，所以由罗尔中值定理，至少存在一点，使得，所以，所以ξ是方程在 (0,1) 内的一个实根。

结论得证。2

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罗尔中值定理

证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：

1. 若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。

2. 若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f'(ξ)=0。

另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。

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罗尔中值定理

若连续曲线y=f(x) 在区间 [a,b] 上所对应的弧段 AB，除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线，且在弧的两个端点 A,B 处的纵坐标相等，则在弧 AB 上至少有一点 C，使曲线在C点处的切线平行于 x 轴。

（1）有界开区间上的有界函数