定义

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超越数是指不满足任何整系数(有理系数)多项式方程的实数，即不是代数数的数。因为欧拉说过：“它们超越代数方法所及的范围之外。”(1748年)而得名。

1844年，刘维尔(J.liouville，法，1809—1882)首先证明了超越数的存在性。厄米特与林德曼先后证明了与为超越数。

难题

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超越数是不能满足任何整系数代数方程的实数，定义恰与代数数相反。两个著名的例子：圆周率，自然对数的底，可以证明超越数有无穷个。在实数中除了代数数外，其余的都是超越数，但是超越数不一定是实数，比如著名的欧拉公式中的即是一个虚超越数。实数可以作如下分类：实数分为实代数数、实超越数。所有超越数构成的集是一个不可数集。这暗示超越数为无穷数集。可是，现今发现的超越数极少，因为要证明一个数是超越数是十分困难的。

证明

刘维尔数证明后，许多数学家都致力于对超越数的研究。1873年，法国数学家埃尔米特（Charles Hermite，1822—1901）又证明了自然对数底e的超越性，从而使人们对超越数的认识更为清楚。1882年，德国数学家林德曼证明了圆周率也是一个超越数（完全否定了“化圆为方”作图的可能性）。

在研究超越数的过程中，大卫·希尔伯特曾提出猜想：a是不等于0和1的代数数,b是无理代数数，则a^b是超越数（希尔伯特问题中的第七题）。

这个猜想已被证明，于是可以断定、是超越数。

常见形式

实数中除代数数以外的数，亦即不满足任一个整系数代数方程的数。理论上证明超越数的存在并不难，而且可知超越数是大量的。但要构造一个超越数或论证某个数是超越数就极为困难。现今只有少量的数如，，等的超越性得到了证明，对其他一些有兴趣的数的超越性的研究是数学家十分关注的事3。

数例

π

π，在中国叫又环率、圆率、圆周率等。

最先得出的是希腊的阿基米德（约公元前240年），最先给出π小数后面四位准确值的是希腊人托勒密（约公元前150年），最早算出π小数后七位准确值的是中国的祖冲之（约480年），1610年荷兰籍德数学家鲁道夫应用内接和外切正多边形计算π值，通过2边形计算π到35位小数，花费了毕生精力，1630年格林贝格利用斯涅耳的改进方法计算π值到39位小数，这是利用古典方法计算π值的最重要尝试。

以上都是古典方法计算π值。

达什首先计算出π的准确的200位数字。