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  • 1.摘要
  • 2.用途
  • 2.1.例子
  • 3.与其他表示的联系
  • 3.1.从 so(3) 到 SO(3) 的指数映射
  • 3.2.从 SO(3) 到 so(3) 的对数映射
  • 3.3.四元数

轴角

旋转的轴角表示用两个值参数化了旋转: 一个轴或直线，和描述绕这个轴的旋转量的一个角。它也叫做旋转的指数坐标。

有时也叫做旋转向量表示，因为这两个参数(轴和角)可用在这个轴上的其模是旋转角的一个向量来表示。

用途

轴角表示在处理刚体动力学的时候是方便的。它对特征化旋转还有在刚体运动的不同表示之间的转换是有用的。

例子

假如你站在地面上，选取重力的方向为负 z 方向。如果你左转，你将绕 z 轴旋转 image 弧度 (或 90 度)。在轴角表示中，这将是

image

这可以表示为指示 z 方向的模为 image 的旋转向量。

image

与其他表示的联系

表示旋转有很多方式。理解它们相互之间的区别和如何转换是重要的。

从 so(3) 到 SO(3) 的指数映射

从旋转的轴角表示到旋转矩阵的变换使用指数映射。

image

本质上说，通过使用泰勒展开，你可以得出在这两种表示之间的闭合形式的关系。给出一个轴 image 和角 image，等价的旋转矩阵给出为:

image

image

image

这里的 R 是 3x3 旋转矩阵而帽算子给出与叉积被乘数对应的反对称矩阵算符。

从 SO(3) 到 so(3) 的对数映射

要获得旋转矩阵的轴角表示，计算旋转的角