基本介绍

曲面的弯曲变形是指它保留曲面上曲线的长度不变的变形。举例说，卷成筒状的纸片从几何观点看来就是平面小块的弯曲变形。事实上，这时曲面确实没有伸展，而且画在纸上的所有曲线的长度在卷起纸片时也没有改变，保留不变的还有另外一些与曲面有关的几何量，例如曲面上的图形的面积，曲面在弯曲变形下不改变的所有性质，就组成曲面的所谓内蕴几何的对象。

这是什么样的一些性质呢?显然，在任意的弯曲变形下可以保留的只是那样一些性质，它们只以有限步的计算依赖于曲线的长度，即它们可以用在曲面上所产生的测量方法来确定。弯曲变形是保留曲线长度的任意变形，而经过任何弯曲变形都不改变的每一个性质都可以这样或那样地通过长度来决定。大家说，内蕴几何简单地就是曲面上的几何，“内蕴几何”这名词的本身的意义是说，研究的只是曲面本身的内在的性质，而不依赖于曲面在空间中是怎么样弯曲的”。举例说，如果我们在纸片上用直线段连结两个点，然后弯曲这张纸(图1)，则线段就变成一条曲线，然而它是曲面上连结两个已知点的最短曲线这个性质仍然保留；因此它属于内蕴几何，反之，这条曲线的曲率依赖于纸片的弯曲程度，因此已经不归于内蕴几何了。

图1（a）

图1（b）

一般地说，由于平面几何的结论不牵涉到包容这个平面的空间的性质，平面几何的全部定理都属于从平面的弯曲变形所得到的任意曲面的内蕴几何，可以说，平面几何是平面的内蕴几何。

内蕴几何的另一个大家知道的例子是球面几何，在测量地球表面时我们实质上就要用到它，这个例子特别适宜于说明内蕴几何概念的本质。事实是，由于地球有很大的半径而把直接看到的一块地面理解成平的，因而在测量很大的距离时而观察到的与平面几何的差异就出现在我们面前，并非作为地球表面在空间中的弯曲的结果，而是作为由地球表面本身的几何性质所表示的“地面几何”所特有的法则。

图2

图3

应该指出，研究内蕴几何的观念本身当在高斯那儿产生时就是与测量学和地图制图学有关的。这两种实用科学实质上都与地球表面的内蕴几何有联系，地图制图学处理的特别是当把一部分地球表面画到平面上时比例尺所受到的歪曲，因此也就要处理地球表面的内蕴几何与平面几何的差异。同理可以想像其他曲面的内蕴几何：设想在已知曲面上生活着某种微小的生物，在这种生物的视界之内曲面看来像是平的(我们知道，任何平滑曲面的充分小的一片与切平面只有很小的差别)；那么这种生物就不会注意到曲面是在空间中弯曲的，只有在测量较大的距离时，他们才会肯定他们的几何学服从另外一些法则，这些法则正是相当于他们所生存的曲面的内蕴几何的。至于这些法则确实随曲面的不同而有差别，则可以用以下的论断来肯定，在曲面上取一个点，我们来讨论这样的曲线，在曲面上量得的这曲线上的任意点到点的距离(即连接这点与点的最短曲线的长度)都等于常数(图2)，曲线从内蕴几何的观点看来正是半径的圆周，用来表示曲线的长度依赖于的公式是属于已知曲面的内蕴几何的，然而这种依赖关系却可以是各种各样的：例如在平面上；在半径的球面上不难算出是；在图3所画的曲面上，从的某个值开始，具有已知中心O的圆周的长度变得完全不依赖于，而后来又变成递减的。因此，以上所说的各种曲面具有不同的内蕴几何1。

内蕴几何学的兴起

在高斯致力于微分几何的研究(1827)之前，平面一直被作为三维欧几里得空间中的图形来研究。但是高斯表明，关于平面的几何学能通过专注于平面本身得以研究。平面S 是具有两个自由度的点的集合，因此S 上的任意一点r能用两个参数来表示。我们能获得表达式:(关于时的求和缩写法)，并且。高斯得出观测结论: 平面的属性，如弧长元、平面上两条曲线之间的夹角，以及通常所谓的平面的高斯曲率，仅仅取决于，而这有许多推论。如果我们引人坐标一这来源于：三维空间中平面的参数表示一并且运用由此确定的，我们就获得这个平面的欧几里得性质。但是，我们能从这一平面出发，引人两组参数曲线,并用作为的函数而获得的表达式。因此，这一平面有一个由确定的几何学。

这一几何学是内蕴于平面的，并且与周围的空间没有关系。这表明这个平面本身能被看作一个空间。如果这个平面本身被看作一个空间，那么它拥有什么类型的几何学呢? 如果我们认为那个平面上的“直线”是测地线( 平面上两点间的最短连线)，那么此几何学可能是非欧几里得的。因此，高斯的工作所隐含的是，至少在本身被看作空间的平面上有非欧几何。

受高斯关于欧几里得空间中平面的内蕴几何学的引导，黎曼为一个种类更为宽泛的空间发展了一种内蕴几何学(intrinsic geometry)(1854)。尽管三维几何学显然是重要的几何学，但是黎曼更喜欢处理n维几何学。他把n维空间当作一个流形来讨论。在一个n维流形中的点由赋予n 个变元参数的特定数值，和构成n维流形本身的所有这些可能的点的总数表示。同高斯的平面内蕴几何学一样，黎曼流形的几何学性质是用流形自身可确定的量来定义的，并且没有必要把流形看作位于某种更高维的流形之中2。

内蕴几何的基本概念

为了说明内蕴几何的概念和定理的范围，让我们来看一下作为平面的内蕴几何的平面几何。平面几何的对象是平面上的图形和它们的性质，这些性质通常是以长度、角度、面积等等基本几何量之间的关系表出的。当然，角和面积属于平面的内蕴几何的严格的根据是在于：可以证明角和面积都能用长度来表出。这是因为，只要知道已知角所在的三角形各边的长度，就可以算出这个角；三角形的面积也可以按它的各边来计算，而任意多角形的面积则可以把它分成三角形来计算1。

把平面几何看作平面的内蕴几何，并不必需限制在中学平面几何的范围。相反地，它可以展开得非常远，加进新的问题，只要所引用的概念以有限次测量长度的计算作为基础就成。例如在平面几何里可以顺次地引入曲线长度的概念，曲边图形面积的概念等等；它们全都属于平面的内蕴几何。

在任意曲面的内蕴几何里可以引进同样一些概念。曲线的长度在这时是原始的概念；至于角和面积情况稍有些复杂。假如已知曲面的内蕴几何与平面几何有差别，那么我们就不能按普通的公式用长度来决定角和面积。然而，我们曾经说过，曲面在已知点邻近与其切平面很少差异。确切地说，下面的断言成立：假如把包含已知点M的曲面小片投射到这点处的切平面上，那么在曲面上量得的两点之间的距离与它们的投影之间的距离的差，比起它们到点M的距离来是高于二阶的无穷小量。所以在决定属于曲面的已知点的几何量时，假如是用不高于二阶的无穷小量为主的极限过程得到这些几何量，则就可以把曲面的小片换成它在切平面上的投影。这时从切平面上量得的量对于曲面来说就是内蕴几何的量。这种把曲面小片看作平面的可能性是定义内蕴几何的所有概念的基础。

作为例子，我们来讨论角和面积的定义．依据一般的原则，曲面上曲线之间的角定义为它们在切平面上的投影之间的角(图4)。显然，用这种方法定义的角与曲线的切线之间的角重合。最后，为了刻画曲线在曲面“内部”的弯曲需要引进测地曲率的概念；“测地曲率’这个名称是从地球表面上的测量而来的。曲线在已知点处的测地曲率定义为它在切平面上的投影的曲率(图5)。