简介

考虑环面上由微分方程（α 为实数）所确定的光滑流φ 取环面上一个横截面（如图），φ 的每条轨道都与 C 横截相交，从 C 上出发的轨道正向、负向都要与 C 相交。

由 φ 诱导出 C 上第一返回映射，由给出（其中是使成立的最小的 t 值），f 是 C 上的微分同胚。一般地，流形 M 上 Cr流 φ（对应的向量场为 X）的横截面是一个余维为 1 的闭子流形，它满足：

1、Σ 与 X 横截相交；

2、从Σ 离开的φ 的每条轨道其未来与过去都与Σ 相交；

3、φ 的每条轨道都与Σ 相交。

图1.

必要条件

设 Cr流 φ 有横截面 Σ ，如上可定义第一返回映射，f 是 Cr微分同胚，因而具有横截面的 Cr流在横截面上诱导了一个 Cr微分同胚。

但是，不是所有光滑流都有横截面，一个明显的必要条件是流不能有奇点。横截面是由庞加莱 (Poincare,(J.-)H) 引进的。

应用

通过横截面可以建立光滑流与微分同胚生成离散动力系统之间的联系。1

参考资料