基础定义

指圆内接 凸四边形两对对边乘积的和等于两条对 角线的乘积。

演绎过程

一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。）

在 任意凸四边形ABCD中(如右图)，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE.

则△ABE∽△ACD

所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD,

所以△ABC∽△AED.

BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2)

(1)+(2),得

AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC

又因为BE+ED≥BD

（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）

复数证明

用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的 复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c) 、(a-c)、(b-d)。 首先注意到 复数 恒等式： ( a− b)( c− d) + ( a− d)( b− c) = ( a− c)( b− d) ，两边取模，运用 三角不等式得。等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共 圆等价。 四点不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的 反演形式。

托勒密定理

二、

设ABCD是 圆内接四边形。 在弦BC上， 圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。 在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD； 因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。 因此△ABK与△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA； 两式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA； 但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。证毕。

三、