割圆术
三国时代数学家刘徽的割圆术是中国古代数学中“一个十分精彩的算法”。在此之前，圆周率采用“径一周三”的实验数据。东汉科学家张衡采用
和
。刘徽认为
过大。。东汉天文学家王蕃采用
。这些圆周率都是实验值，都只准确到二位数字。刘徽是中国数学史上最先创造了一个从数学上计算圆周率到任意精确度的迭代程序。他自己通过分割圆为192边形，计算出圆周率在3.141024 与 3.142704之间，取其近似，并以 
表示。这个数值准确到三位数字，比前人的圆周率数值都准，但他自己次承认这个数值偏小。后来刘徽发明一种快捷算法，可以只用96边形得到和1536边形同等的精确度，从而得令他自己满意的
。
刘徽割圆术简单而又严谨，富于程序性，可以继续分割下去，求得更精确的圆周率。南北朝时期著名数学家祖冲之用刘徽割圆术计算11次，分割圆为12288边形，得圆周率
=3.1415929，成为此后千年世界上最准确的圆周率。
刘徽在圆周率领域的贡献，不仅在于求得 
和
，更重要的在于他创造了一世界数学史上最精彩的割圆术：阿基米德割圆术和刘徽割圆术一样用双向迫近，因而同样严谨完备，但远不如刘徽简洁；阿基米德用双归谬法推证圆面积，不如刘徽用极限论先进；托勒密割圆术和阿尔·卡西割圆术只是单向迫近，不如刘徽严谨；赵友欣割圆术和日本关孝和割圆术从正方开割，属于刘徽割圆术的变化，而且也是单向迫近。刘徽割圆术虽然不是世界最早，却是数学史上最严谨完备简洁的割圆术。
圆面积公式
刘徽割圆术是建立在圆面积论的基础之上的。他首先论证，将圆分割成多边形，分割来越细，多边形的边数越多，多边形的面积就和圆面积没有差别了。他说，将6边形一边的长度乘以圆半径，再乘3，得12边形的面积。将12边形的一边长乘半径，再乘6，得24边形面积。越割越细，多边形和圆面积的差越小。如此割了再割，最后终于和圆合为一体，毫无差别了。
6边形的面积显然和圆面积相差很多。
内接正12边形面积 = 6边形面积+6个蓝色三角形面积，向圆面积趋近了一步。
正24边形面积=6边形面积+6个蓝色三角形面积+12个黄色三角形面积，更加接近圆面积了。
显然：
正12边形面积 <正24边形面积< 正48边形面积<正96边形面积……<内接6*2N边形面积<圆面积。
刘徽明显已经掌握了无穷小分割和极限的概念：
内接 6*2N边形面积 
圆面积。
他又指出：6边形之外，遗留了半径的一小段d ，称为余径。将余径d乘多边形的一边，所得长方形ABCD，已经越出圆周范围之外。如果将圆周分割得很细，余径d趋向于0，而长方形ABCD的面积也趋向于0。
显然，刘徽之所以研究余径，目的是从上限和下限两个方面逐步逼近圆面积：
内接 6*2N边形面积 
圆面积
内接 6*2N边形面积+6*2N*d*L。
刘徽进一步证明圆面积=圆周/2 × 半径。
关于多边形的面积，刘徽有如下公式：
2 N边形的面积= N边形的半周长×R。
=
,
其中L为N边形的单边长，R为圆半径。
此公式可用刘徽出入相补原理证明： 将内接2N边形，分割，然后重新排列成宽为 L x N/2, 高为R的长方形；