简介

如果从命题A可以推出命题B,反之,从命题B亦可推出命题A.那么,我们称命题A与命题B等价.所谓等价变换就是把一个命题A转化为一个与之等价的新命题B的一种变换.

等价变换的实质就是等价地变更问题,它是一种十分重要的转化型解题方法.由于新问题与原问题等价,所以当新问题被解决时,原问题也就被解决了.如代数式的恒等变换、方程的同解变形、解析几何中数与形的对应等等

变换的对象

任何一个数学问题(命题)都包含条件与结论两个部分.因此,命题的变换结论也就包含三个方面的内容,一是变换条件,二是变换结论,三变换整个命题(条件与结论)

例题:设为a、b、c正数,a4+b4+c4+d4=4abcd,求证a=b=c=d

证明:a4+b4+c4+d4=4abcd等价于

       (a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0

注意到a、b、c、d为正数,从而a=b,c=d,ab=cd由此得a=b=c=d

方法变换的

(1)换一个角度

例题:

在凸n边形中,尽可能多地连对角线,但其中任何两条对角线都不在多边形的内部相交.试证:不论采用什么方式连接,其对角线的条线均为n-3

证明:

原问题着眼于"尽可能多地连对角线",从另一个角度来考虑,这等价于凸n边形被完全剖分成三角形.易知三角形的个数为n-2,共有3*(n-2)=3n-6个顶点,但多边形只有n个顶点,从而有2n-6个顶点是重复的.注意凸n边形的n条边就已把个顶点"用完了",因此,每重复一个顶点就对应着从该点引出了一条对角线,这样共引出了2n-6条对角线,但每条对角线包含了两上重复的顶点,因此每条对角线被计数两次,故对角线的条数为1/2*(2n-6)=n-3

(2)改一种说法

例题:

已知x+y+z=1/x+1/y+1/z=1,求证:x、y、z中到少有一个等于1

解: