相量
物理和工程领域中,常会使用到正弦信号(例如交流电路的分析),这时可以使用相量来简化分析。相量(英语:Phasor)是振幅(A)、相位(θ)和频率(ω)均为非时变的正弦波的一个复数,是更一般的概念解析表示法的一个特例。而将正弦信号用复数表示后进行电路分析的方法称为相量法,而在相量图中利用矢量表示正弦交流电的图解法称为矢量图法。相量法可以将这几个参数的相互依赖性降低,使这3个参数相互独立,这样就能简化特定的计算。Phasor是Phase Vector的混成词。Phasor也被称作复振幅,在比较古老的英文工程文献当中,也常被写作sinor,甚至写作complexor。
参数中的频率参数对正弦波的线性组合的所有分量都一样,若利用相量法将这一因子提取出来,留下的只是振幅和相位信息的代数组合而不是三角函数的组合。同样,线性微分方程的求解也可以通过相量法简化为代数运算。不过因为要提取频率,所以只有同频率的正弦量才能进行相量运算。由此可知,相量是一种简化的表示方法,纪录一正弦波的振幅和相位数据。因此,相量一般指振幅和相位部分。
忽略一些数学细节,相量变换也可以看作是拉普拉斯变换的特定情况,该变换还能同时导出RLC电路的瞬态响应。然而拉普拉斯变换在数学上应用较为困难,因而在只需要进行稳态分析时没有必要使用。
定义
通过欧拉公式,我们可以将正弦信号表示为二复数函数项的和:
,
(其中A和θ分别表波的振幅以及相位,而其频率f则定义为。)
也可单用实部表示:
或可单用虚部表示:
更进一步,若所分析电路为线性,由于信号源只为单一固定频率ω而不产生其他杂项(例如谐波),因此可以只取其复数的常数部分,一般把这部分定义为相量。我们也可以用另一种更精简的极坐标形式表示:
。
在电气工程领域当中,相角通常是以度来定义,而非弧度;振幅大小则通常是以均方根定义,而非峰-峰值。
正弦波可以被理解成复平面上的旋转矢量在实轴上的投影。这一矢量的模是振动的幅度,而矢量的幅角是总相位。相位常数
代表复矢量于
时刻与实轴的夹角。
运算法则
与常数(标量)相乘
相量与复常数
的乘积也是一个相量,这意味着相量乘法只会改变正弦波的振幅和相位:
在电子学中,是独立于时间的阻抗,且并不是另一相量的简短记法。 阻抗乘以相量电流可得到相量电压。但2个相量相乘或相量乘方运算的结果表示2个正弦波的乘积,这种运算是非线性运算,会产生新的频率分量。相量记法只能表示同一频率的系统,例如正弦波模拟的线性系统。
微分和积分
一个相量的时间导数或积分可以产生另一个相量,例如: