斯托克斯公式

数学概念

斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广，它也是格林公式的推广，这一公式给出了在曲面块上的第二类曲面积分与其边界曲线上的第二类曲线积分之间的联系1。

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基本信息

斯托克斯公式

设是具有边界曲线的有向曲面，的边界曲线的正向这样规定：使这个正向与有向曲面的法向量符合右手法则．即当右手除大拇指外的四指依曲线的绕行方向时，竖起的大拇指的指向与曲面的法向量的指向一致．如此定向的边界曲线称为有向曲面的正向边界曲线．

斯托克斯公式

设为空间的一条分段光滑的有向曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手法则．函数在曲面(连同边界)上具有连续的一阶偏导数，则

称为斯托克斯公式。3

首先证明

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（1）

先假定用平行于z轴的直线穿过曲面时只有一个交点。的方向不妨取上侧，它在xOy面上的投影区域为，而的边界曲线在xOy面上的投影即为的边界曲线L，且L的方向与方向一致，如图所示．此时的方程可写为.

从而的参数方程为

t的增大方向对应于的正向，则由曲线积分计算法易于验证

由格林公式得

另一方面，的法向量，设其单位法向量，于是

从而，因此

比较得到

若的方向取下侧，也相应地改取相反的方向，那么上式两端同时改变符号，因此上式仍成立。