伽辽金法概述

伽辽金方法（Galerkin method）是由俄罗斯数学家鲍里斯·格里戈里耶维奇·伽辽金（俄文：Борис Григорьевич Галёркин）发明的一种数值分析方法。应用这种方法可以将求解微分方程问题（通过方程所对应泛函的变分原理）简化成为线性方程组的求解问题。而一个高维（多变量）的线性方程组又可以通过线性代数方法简化，从而达到求解微分方程的目的。

伽辽金法采用微分方程对应的弱形式，其原理为通过选取有限多项势函数（又称基函数或形函数），将它们叠加，再要求结果在求解域内及边界上的加权积分（权函数为势函数本身）满足原方程，便可以得到一组易于求解的线性代数方程，且自然边界条件能够自动满足。

必须强调指出的是，作为加权余量法的一种势函数选取形式，伽辽金法所得到的只是在原求解域内的一个近似解（仅仅是加权平均满足原方程，并非在每个点上都满足）。

伽辽金法表达

伽辽金法直接针对原控制方程采用积分的形式进行处理，它通常被认为是加权余量法的一种。这里先介绍加权余量法的一般性方程。考虑定义域为V的控制方程，其一般表达式为：

Lu=P

精确解集u上的每一点都满足上述方程，如果我们寻找到一个近似解ū ，它必然带来一个误差ε（x），把它叫做残差，即：

ε (x)=Lū-P

近似方法要求残差经加权后他在整个区域中之和应为0，即：

∫ v[ Wi· (Lū-P)]dV=0 其中i=1,2,...,n

选取不同的加权函数Wi会得到不同的近似方法。

对于伽辽金法来说，加权函数Wi一般称为形函数Φ（或试函数），Φ的形式为

Φ=ΣΦi·Gi

其中Gi（i=1,2,...,n）为基底函数（通常取为关于x,y,z的多项式），Φi为待求系数，这里将加权函数取为基底为Gi的线性组合。

另外，一般近似解ū的构造也是选取Gi为基底函数，即

ū=ΣQi·Gi

其中，Qi为待定系数。

综上可得伽辽金法的表达形式如下：